matematikk.net

To sirkler har sentrum i [tex]S_1[/tex] og [tex]S_2[/tex]. To punkter A, B ligger på sirklene slik at [tex]AB[/tex] er en fellestangent for sirklene, og slik at [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] ligger på samme side av [tex]S_1S_2[/tex]. Linjen [tex]S_1S_2[/tex] skjærer sirklene i henholdsvis [tex]C[/tex] og [tex]D[/tex].

Vis at [tex]A, B, C, D[/tex] ligger på en sirkel.

La [tex]AS_1C = \alpha[/tex], og [tex]BS_2D = \beta[/tex]. Siden [tex]S_1AB = S_2BA = 90[/tex], må [tex]\alpha + \beta + 90 + 90 = 360[/tex], så [tex]\alpha + \beta = 180[/tex].

Nå er [tex]ACS_2= 180-(90-\frac{\alpha}{2})[/tex], og [tex]DBA=90-(90-\frac{\beta}{2})[/tex], så [tex]ACS_2 + DBA = 90 + \frac{\alpha+\beta}{2}=180[/tex], og dermed er [tex]ACDB[/tex] en syklisk firkant.

Kort og fint bevis som behandler begge tilfellene like bra.