matematikk.net

I en sirkel med diameter 1 er det tegnet inn [tex]n[/tex] korder. Summen av lengdene deres er større enn 19. Vis at det finnes en diameter i sirkelen som skjærer minst sju korder. (To linjer skjærer også om de er sammenfallende.)

Identifiser først sirkelperiferien med intervallet [tex] [0,2\pi) [/tex]
La [tex]f(\theta) : [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{Z}[/tex] være gitt ved antall korder mellom punktet [tex]\theta[/tex] og sentrum av sirkelen. Det er klart at en diameter som går fra [tex]\theta [/tex] til [tex]\theta +\pi[/tex] skjærer [tex]g(\theta)=f(\theta)+f(\theta+\pi) +D [/tex] korder, hvor D er antall korder som også er diametere.

Jeg påstår at [tex]\int_0^\pi g(\theta) d\theta >38[/tex] (hver korde med lengde l gjør et bidrag større enn 2l til integralet ettersom den rette korden alltid er kortere enn sirkelbuen) Dette betyr at det finnes minst en [tex]\theta[/tex] slik at [tex]g(\theta)>38/pi>12[/tex]
Og dermed finnes det en diameter som skjærer 12>7 korder.

Oi, en feil, det skal være 19 istedenfor 38, og pga heltall må minst en diameter gå igjennom 7 korder

Men det var visst ikke så galt likevel, det skulle kanskje vært radius 1, istedenfor diameter? Ble litt forvirra av at buelengden ikke var like stor som vinkelen. Slik som oppgaven står vil en ha en diameter som går gjennom minst 13 korder (finnes minst en [tex] g(\theta) \in \mathbb{Z}[/tex] med [tex]g(\theta)>38/\pi>12\Rightarrow g(\theta)\geq 13[/tex]).
Hadde diameteren vært 2 ville en kunnet finne et sett korder gitt stor nok n slik at ingen diametere skjærer mer enn 7 korder.

Men det var visst ikke så galt likevel, det skulle kanskje vært radius 1, istedenfor diameter? Ble litt forvirra av at buelengden ikke var like stor som vinkelen. Slik som oppgaven står vil en ha en diameter som går gjennom minst 13 korder (finnes minst en [tex] g(\theta) \in \mathbb{Z}[/tex] med [tex]g(\theta)>38/\pi>12\Rightarrow g(\theta)\geq 13[/tex]).
Hadde diameteren vært 2 ville en kunnet finne et sett korder gitt stor nok n slik at ingen diametere skjærer mer enn 7 korder.