matematikk.net

Ikke sikkert på om denne er gitt tidligere, men her kommer den ihvertfall: Vis at dersom a+b=1 for a,b positive reelle tall, er

[tex](a+\frac1a)^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}[/tex].

AM-GM på den første likheten gir at [tex]\frac{1}{ab} \geq 4[/tex].

Bruker vi AM-QM får vi at

[tex](a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \geq \frac{(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{2} = \frac{(1+\frac{1}{ab})^2}{2} \geq \frac{25}{2}[/tex]

Jensens ulikhet med [tex]f(x)=(x+\frac1x)^2[/tex] vil også føre frem siden den andrederiverte av f(x) på intervallet x>0 er ikkenegativ.