Funksjonallikning
Posted: 02/07-2010 23:02
Finn alle funksjoner [tex]f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y)[/tex].
Sett [tex]y=0[/tex].
Da blir [tex]f(x)-f(x)=0=f(0)f(x)[/tex].
To tilfeller:
i) [tex]f(x)=0[/tex] for alle x i R, triviell løsning
ii) [tex]f(0)=0[/tex] og minst én x er slik at [tex]f(x)\neq 0[/tex]
ii)
Sett [tex]x=0[/tex]:
[tex]f(y)-f(-y)=f(0)f(y)=0[/tex], så [tex]f(y)=f(-y)[/tex] for alle y i R.
Sett [tex]y=x[/tex]:
[tex]f(2x)=f^2(x)[/tex]
Sett [tex]y=-x[/tex]:
[tex]-f(2x)=-f^2(x)=f(x)f(-x)[/tex]. Minst én x=k er slik at [tex]f(k)\neq 0[/tex], så for denne k kan vi dele med f(k):
Da blir [tex]-f(k)=f(-k)[/tex] der [tex]f(k)\neq 0[/tex] og [tex]k\neq 0[/tex], som motsier at f er symmetrisk fra ligningen et par hakk over.
Så eneste løsning er [tex]f(x)=0[/tex]