matematikk.net

Finn alle tripler av funksjoner [tex]f, g[/tex] og [tex]h[/tex] (alle [tex]: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]) slik at [tex]f[/tex] er kontinuerlig, og [tex]f(x+y)=g(x)+h(y)[/tex] for alle [tex]x, y \in \mathbb{R}[/tex].

f(x+y)=g(x)+h(x)
f(x)=g(x)+h(0) (1)
f(y)=g(0)+h(y) (2)
f(0)=g(0)+h(0) (3)
Alle disse gir:
f(x+y)=f(x)-g(0)+f(y)-h(0)=f(x)+f(y)-f(0)

La r(x) = f(x) -f(0). Da er

r(x+y) = r(x) + r(y).

Cauchy-funksjonallikningen gir (ved å bruke at r er kontinuerlig) at r(x) = cx for reelle c.

Det vil si f(x) = cx+f(0). Altså ligger f i funksjonsklassen cx+a for konstante a.

Anta nå at f(x) = cx + a for en konstant a. Da ser vi av (1) at g(x) = cx + a-h(0), og av (2) at h(x) = cx + a -g(0) = cx + a-(a-h(0))=cx+h(0).
g ligger i funksjonsklassen cx + b for konstante b. Anta nå at g(x) = cx+b for en konstant b. Da er h(x) = cx + a-b.

Men vi ser at siden c(x+y) +a = (cx+b) + (cy + a-b) for alle reelle c,a og b er alle mulige funksjoner

f(x) = cx +a
g(x) = cx+b
h(x) = cx + a-b

for alle reelle a,b,c.

Selvfølgelig helt riktig.