matematikk.net

La [tex]a_1,...,a_n[/tex] vaere positive tall. La [tex]a_{n(j)}[/tex] vaere en permutasjon av sistnevnte folge.

Vis at
[tex]\frac{a_1}{a_{n(1)}}+...+\frac{a_n}{a_{n(n)}} \geq n[/tex].


(regner med denne er rimelig lett for mange av de mer erfarne problemloserne her, men sikkert en god utfordring for de hakket litt mindr eerfarne)

Uten tap av generalitet, anta at [tex]a_1\leq a_2,...,\leq a_n[/tex].

Rearrangementulikheten gir at

[tex]\sum_i \frac{a_i}{a_n(i)}\geq \sum_i \frac{a_i}{a_i}=n[/tex]

En alternativ måte er å bruke AM-GM. Litt opprydding gir svaret direkte.