matematikk.net

Vis at [tex]x^2-3y^2=17[/tex] ikke har noen heltallsløsninger.

Etter at jeg så et løsningsforslag på denne, fant jeg ut at min metode var usedvanlig tungvint.

Blarge... sikkert feil igjen, disse problemene virker så enkle. sikkert bare meg som overser noe fundamentalt.

[tex]x^2 \, - \, 3y^2 \, = \, 17 [/tex]

[tex]x^2 \, - \, \left(sqrt{3}y\right)^2 \, = \, 17 [/tex]

[tex]\left( \, x \, - \, sqrt{3}y\,\right) \,\left( \, x \, + \, \sqrt{3} y \, \right) \, = \, 17 [/tex]

Siden både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] skal være heltall, har vi ikke noe måte og bli kvitt [tex]sqrt{3}[/tex] på, dermed har ikke denne likningen noen heltalløsninger...

EDIT:

Alt dette er selvfølgelig feil

Argumentet ditt med å "kvitte oss med [tex]\sqrt{3}[/tex]" er ikke gyldig. Se f.eks på denne:

[tex]x^2-3x^2=6[/tex]

Denne har løsningen x=3, y=1, men du kunne brukt samme argument her.

<hvor gikk delete knappen?>

Anta at en løsning finnes. Først legger vi merke til at om x og y begge er delelige med 17 er venstresiden delelig med [tex]17^2[/tex], mens høyresiden ikke er det. Tilsvarende ser vi at om en av x og y er delelig med 17 mens den andre ikke er det er venstresiden ikke delelig med 17, mens høyresiden er det. Altså kan ingen av x og y være delelige med 17.

Siden 17 er et primtall er [tex]\mathbb{Z}_{17}[/tex] en kropp, og siden [tex]y[/tex] ikke er null finnes da et heltall [tex]y^{-1}[/tex]. Vi har da at [tex]x^2 \equiv 3y^2 \pmod {17}[/tex], så [tex](xy^{-1})^2 \equiv 3 \pmod {17}[/tex]. Men [tex]3[/tex] er ikke en kvadratisk rest modulo 17 (noe man kan sjekke ved å regne ut alle kvadrater mod 17), så dette er en umulighet. Altså var antagelsen vår feil, og det finnes ingen løsninger.

slettet

x^2 - 3y^2 = 17

x^2 - 3y^2 + 3 = 17 +3

x^2 - 3(y+1(y-1) = 20

X må være på formen 3t, 3t + 1 eller 3t + 2

X er opplagt ikke på formen 3t, fordi 20 ikke er delelig med 3.

Antar X=3t +1

(3t+1)^2 - 3(y-1)(y+1) = 20

9t^2 + 6t -(3y-1(y+1) = 19

19 er heller ikke delelig med 3, x=3t +1 går dermed ikke.

Antar x=3t +2

(3t+2)^2 - 3(y-1)(y+1) = 20

9t^2 + 12t - 3(y-1)(y+1) = 16

16 er heller ikke delelig med 3.

Det finnes dermed ingen passende verdier for t, og dermed ingen passende verdier for X.

Ser nå at omformingen min av likningen var totalt unødvendig.

Alternativt:

Vi har øyeblikkelig at [tex]x^2 \equiv 2 \pmod{3}[/tex] som er umulig.

Finn alle heltallige positive løsninger på likningen:

x^2-3y^2=1.

Hint: Her kan det være lurt å omforme likningen på måten Nebuchadnezzar gjorde, og tenk på hva som skjer når du opphøyer hver side i forskjellige potenser.

Morsomt å se så mange forskjellige løsninger

Flaut nok viste det seg at jeg hadde glemt noen viktige tilfeller i min løsning, så den er ikke spesielt gyldig. (ideen min gikk ut på å redusere modulo 4 og sette nye krav på variablene. Jeg fikk utelukket en del muligheter, men plutselig sa det stopp)

Dette er en Pellsk likning. Den fundamentale løsningen ser vi er [tex]x_1=2, y_1=1[/tex], så alle løsninger [tex]x_i, y_i[/tex] er slik at [tex]x_i+y_y \sqrt 3 = (x_1+y_1 \sqrt 3)^i=(2+\sqrt 3)^i[/tex], og dette er en løsning for alle [tex]i[/tex].

Charlatan sin. Her kan i det minste jeg se raskt at løsningene en av løsningene er [tex]x=2[/tex] og [tex]y=1[/tex].

x^2-3y^2=1 skriver om funksjonen litt

[tex]f(a)=\left((x-sqrt(3)y)(x+sqrt(3)y)\right)^a=1^a[/tex]

Dette kan vi skrive om til

[tex]f(a)=(x^2-sqrt{3}y^2)^a = 1[/tex]

Vi vet at en av løsningene er 2 og 1, dermed vil resten av løsningene være gitt ved

[tex]f(a)=(2-sqrt{3})^a[/tex]

Håper dette ble riktig...

EDIT

Litt sent ute.

Dette vil i det minste produsere et uendelig antall løsninger, men kan du bevise at det faktisk er alle?