matematikk.net

La V være rommet av 2x2-matriser. Vi ønsker å finne en basis for underrommet W som består av alle symmetriske matriser.

For meg er det klart at
[tex]\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}[/tex]

utgjør en basis for W. Men hva med en basis for komplementrommet? (alle ikke-symmetriske matriser)

Fasiten foreslår
[tex]\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}[/tex], men dette holder vel ikke? Hva med f.eks [tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/tex]? Den er ikke-symmetrisk, men ikke inkludert i basisen.

Noen tanker? (rommet av matriser er firedimensjonalt, så jeg ikke inkludere flere elementer i en basis heller...)

Du mener [tex]\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] når du snakker om basisen for W?

Siden V åpenbart har dimensjon 4, holder det å finne en matrise som ikke ligger i W, siden den åpenbart da vil være lineært uavhengig av basisen til W. Enhver ikke-symmetrisk matrise holder. De fire matrisene vil utspenne V. Som du ser er

[tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex]

så den ligger i utspenningen av basisen.

Så hvis du skal oppgi en basis for [tex]W^\perp[/tex], hva vil den være?

Åpenbart er [tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] i [tex]W^\perp[/tex], men jeg klarer ikke å skrive den som en lineærkombinasjon av elementer i en basis for [tex]W^\perp[/tex]. Eksemplet ditt inkluderer jo et element i en basis for [tex]W[/tex].

For å snakke om det ortogonale komplementet må du først definere et indreprodukt på V. Når du har det, kan du simpelthen trekke projeksjonen av en ikke-symmetrisk matrise ned på W fra denne matrisen, dvs finne den ortogonale komponenten. Denne nye matrisen vil være en basis for [tex]W^{\perp}[/tex].

Forresten, rommet av alle ikke-symmetriske matriser er ikke et vektorrom. F.eks er nullmatrisen symmetrisk.

Jeg tror jeg forstår mer nå.

Så vi kan egentlig ikke snakke om en basis for komplementet siden det ikke er et vektorrom? (basis i "normal" forstand)

Du kan jo lese følgende wikipedia-artikkel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space#Examples.

Ja, man kan danne en isomorfi mellom vektorrommets sideklasser av W og et eventuelt ortogonalt komplement ved å danne kvotientrommet V/W.

Husk at det ortogonale komplementet ikke er V/W i mengdenotasjon, men rommet av vektorer som står normalt på W. Normalt er[tex] W \cup W^{\perp} \subset V[/tex], selv om [tex]W \oplus W^{\perp} = V[/tex].

Finnes det et (enkelt) eksempel på et vektorrom V og underrom slik at
[tex] W \cup W^{\perp} \subset V[/tex] (og [tex]W \oplus W^{\perp} = V[/tex])?

Ja, to ortogonale linjer i planet (med prikkprodukt) er vel et greit eksempel.