matematikk.net

Jeg skal finne Taylor reprasentasjonen til

[tex]f(x) = e^{-2x}[/tex] rundt c = -1

[tex]e^y = \sum_{n=1}^{\infty} = \frac{y^n}{n!}[/tex]

Lar y = -2(x-c) = -2(x+1) = -2x-2

Jeg ender opp med

[tex]f(x) = e^y = e^{-2x-2} = e^{-2}e^{-2x} = e^{-2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2(x+1))^n}{n!} = e^{-2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n(x+1)^n}{n!}[/tex]

Som er nesten riktig. Det skulle vært e^2 og ikke e^(-2). Hvorfor det?

Først skriver du [tex]f(x)=e^{-2x}[/tex], deretter skriver du [tex]f(x)=e^{-2x-2}[/tex].

Ja, blir det ikke slik da, siden den skal evalueres i c=-1?

for c=-1 blir det y= -2x (Evalurt i c, burde gi:) y=-2(x-c) = -2(x+1)=-2x-2

e^y = e^{-2x-2}

Det er godt mulig det er feil, men finnes det i såfall en begrunnelse på hvorfor det er feil?

Det er klart at

[tex]e^{-2}f(x)=e^{-2}e^{-2x}=e^{-2(x+1)}[/tex]

Sett x+1=y.

Da blir

[tex]e^{-2}f(y-1)=e^{-2y}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2y)^n}{n!}[/tex]

Dette gir

[tex]f(y-1)=e^2\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n\frac{y^n}{n!}[/tex]

Sett så y-1:=x