matematikk.net

Finn alle løsninger av likningssettet [tex]\cos x + \cos y + \cos z = \frac {3 \sqrt 3} 2[/tex] , [tex]\sin x + \sin y + \sin z = \frac 3 2[/tex], der [tex]x, y, z \in [0, 2\pi)[/tex].

Ved å kvadrere begge ligninger og legge sammen får vi etter bruk av [tex]\cos^2 u+\sin^2 u=1[/tex] og [tex]\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v[/tex] at [tex]\cos(x-y)+\cos(y-z)+\cos(z-x)=3[/tex]. Hvert av de 3 ledda må her være 1, så innafor definisjonsområdet for variablene kan vi bare ha x=y=z som igjen gir at [tex]x=y=z=\frac\pi6[/tex]. Dette passer også i de originale ligningene.

Dette er selvfølgelig helt riktig.