matematikk.net

49 er et tall som kan skrives om kvadratet av et tall. Nemlig [tex]7[/tex].
[tex]7^2=49[/tex]

Om vi putter [tex]48[/tex] mellom [tex]4[/tex] og [tex]9[/tex] får vi et nytt tall nemlig [tex]4489[/tex]. Dette kan også skrives som kvadratet av et tall nemlig [tex]67^2[/tex].

Vis at når vi setter inn vilkårlig antall "par" av 48 så vil vi alltid få et tall som kan skrives som produktet av to like tall...

Altså bevis at dette gjelder generelt.

For eksempel [tex]49\; , \; 4489\; , \; 444889\; , \; 44448889 \; , \; 4...9 [/tex]

Alle disse tallene kan skrives på formen

[tex]\underbrace{44....4}_{n}\underbrace{88....8}_{n-1}9[/tex]

[tex]= \; 9 \;+\; \sum_{k=1}^{n-1} 8 \cdot 10^k \;+\; \sum_{k=n}^{2n-1} 4 \cdot 10^k[/tex]

[tex]= \; 9 \;+\; 80 \sum_{k=0}^{n-2} 10^k \;+\; 4 \cdot 10^n \sum_{k=0}^{n-1} 10^k[/tex]

[tex]= \; 9 \;+\; \frac{80}{9}(10^{n-1} \:-\: 1) \;+\; \frac{4 \cdot 10^n}{9}(10^n\:-\:1) [/tex]

[tex]= \; \frac{81 \:+\: 8 \cdot 10^n \:-\: 80 \:+\: 4 \cdot 10^{2n} \:-\: 4 \cdot 10^n}{9}[/tex]

[tex]= \; \frac{4 \cdot 10^{2n} \:+\: 4 \cdot 10^n \:+\: 1}{9}[/tex]

[tex]= \; \Big( \frac{2 \cdot 10^n \:+\: 1}{3} \Big)^2 [/tex]

[tex]= \; \underbrace{66....6}_{n-1}7^2 \;\; \;\; q.e.d.[/tex]

Dette er selvfølgelig riktig.