matematikk.net

Beregn [symbol:integral] G * T ds .


Er T ds det samme som [dx,dy,dz] ?

Det kommer an på tror jeg... Hvilken oppgave på hvilket eksamenssett er dette?

Eksamen vår 2004 oppgave 6

En orientert kurve C er gitt ved

[tex] \vec{r}(t) = [cos t, (1 + sin t),(1 - cos t - sin t)] \\ 0 \le t \le 2\pi [/tex]
[tex] \vec{F}(x, y, z) = [ye^x,(x^2 + e^x), z^{2}e^{z}] [/tex]

a) Vis at C ligger i et plan, og finn en ligning for dette planet. Hva slags kurve er projeksjonen av C i xy-planet?
b) Bruk Stokes’ teorem til å regne ut

[tex] \oint\limits_{C} \vec{F} \cdot \vec{T} ds [/tex]

Denne oppgaven?

Ja, det stemmer !

Oki Hvor er det tillfellet du spør etter oppstår i oppgaven da?

Oppgave b..
[symbol:integral] F * T ds

Er det ikke bare å bruke stokes teorem da?

Vi har planet fra oppgave a: (jeg skjønner egentlig ikke hvordan de har regnet ut det, men det får være en annen sak )

[tex] x + y + z = 2 [/tex]

Som vi kan skrive om til:

[tex] z = 2 - x - y [/tex]

Da kan vi utnytte at vi har en [tex] z = f(x,y) [/tex]

Altså er:

[tex] \vec{n}d\sigma = [1,1,1]dxdy [/tex]

Regner ut curl F og får at denn er [tex] [0,0,2x] [/tex]

Integralet vårt blir da:

[tex]\oint_C \vec{F} \cdot \vec{T} ds = \int \int_R 2x dx dy [/tex]

Var det dette du lurte på eller?

Ser ikke helt hvor [tex] \vec{T} ds = [dx,dy,dz] [/tex] kommer inn i bildet?

Ja, det jeg lurte på.

Men fasiten har skrevet om [symbol:integral] 2(z-y) k * T ds til [symbol:integral] 2(z-y) dz

Skjønte ikke hvordan de gjorde det.

Nå har jeg finlest fasiten her, jeg kan ikke se hvor de har skrevet det jeg? Antar vi har samme fasit da? er vel ikke så mange andre tror jeg?

Oops.. nei, det var oppgave 5... Blir så forvirra av alle oppgavene.

Aha

Da var det egentlig dette du lurte på:

[tex] \int_C 2(z-y)\cdot \vec{k} \cdot \vec{T} ds = \int_C 2(z-y) dz [/tex]?

Vel, jeg synes de har en litt rar notasjon... Så

[tex] \int_C 2(z-y)\cdot \vec{k} \cdot \vec{T} ds = \int_C [0,0,2(z-y)]\cdot \vec{T} ds = \int_C [0,0,2(z-y)] d\vec{r} [/tex]

Setter så inn verdier fra tidligere i oppgaven der:
[tex] z = 2t \\ y = t [/tex]

Vi skal også derivere posisjonsvektoren [tex] \vec{r}(t) [/tex] men vi trenger bare å fokusere på z komponenten siden den er den eneste som gir bidrag, og deriverte av z komponent blir bare 2, da får vi:

[tex] \int_C [0,0,2(z-y)] d\vec{r} = \int_C 2(2t -t)\cdot 2 dt = 4 \int_C t dt [/tex]

Ble det klarere nå?

Så T*ds er det samme som dr ?

Jepp!

Tusen Takk