matematikk.net

Hei!

Hvordan er regelen når jeg skal delbrøkoppspalte dette?

[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}[/tex]

Fasit:
[tex]\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]


Klarer å se sånn ca hva som er gjort, men vet ikke hvordan de klarte det...

Oppdaget en ny jeg sliter med.

[tex]\frac{1-2s^2+s^3}{s^2(s^2+1)[/tex]

Svar:
[tex]\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{Cs+D}{s^2+1}[/tex]
Ser jo her hva som er gjort, men er det noe forenkling man kan gjøre?

Jeg liker ikke regler. Faktisk så har jeg heller aldri lært mer enn en regel i delbrøk-oppspalting. Poenget er at man vil utrykke en kvotient med produkt i nevner som en sum av flere kvotienter.

For å ta ett banalt eksempel: [tex]\frac{ab}{cd} = \frac{A}{c} + \frac{B}{d}[/tex]

Man ønsker å finne en A og B slik at dette stemmer. For å tilfredstille dette kravet i den første oppgaven du lurte på, må man kanskje ha ett polynom i tellerne for å kunne sitte igjen med s^2 + 2 i telleren om man setter de på felles brøkstrek igjen. Man kan godt ta med flere ledd, og det hadde ikke skadet å bytte ut

[tex]As + B[/tex] med [tex]As^3+Bs^2+Cs+D[/tex]

og tilsvarende for den andre brøken. Man hadde bare endt opp med ett stygt utrykk og en hel masse konstanter som erlik 0. (Faktisk så vil man i dette tilfellet endre opp med at A og C = 0). Du må se hvilken grad polynomet i telleren er i det originale utrykket, også tenke hva som må stå i telleren til de nye brøkene slik at det resulterende polynomet når du setter tilbake på felles brøkstrek blir av et polynom av samme grad (eller høyere) som du startet med.

Ga dette mening? Noen regel kan jeg dessverre ikke gi deg. Den eneste regelen jeg har lært er at hvis man har en nevner som er slik som dette:

[tex]\frac{P_n(x)}{(x-a)^3}[/tex]

Så skal man dele opp slik:

[tex]\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} +\frac{C}{(x-a)^3}[/tex]

Hvor A, B og C muligens blir ett eller annet polynom og a er ulik fra x. Hvis du skjønner mønsteret?

Edit:
Jeg prøvde å generalisere den "regelen" min, men jeg tror den ble feil så jeg fjernet det.

Hei igjen!

Takk for en god og informativ post, men jeg ser fortsatt ikke hvordan jeg kan løse delbrøkenoppspaltingen i første post.
[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}[/tex]

Jeg har klart fint hittil å løse de fleste delbrøkkoppspaltninger, så er ikke fersk i gamet, men av denne typen satt meg helt ut.
Hvordan skal jeg tenke når jeg ser et slikt stykke? Aner ikke hvor jeg skal begynne...

typisk wrote:Hei!
Hvordan er regelen når jeg skal delbrøkoppspalte dette?
[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}[/tex]
Fasit:
[tex]\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]
Klarer å se sånn ca hva som er gjort, men vet ikke hvordan de klarte det...

[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}=\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]

[tex]s^2+2=(s^2+3)(As+B)\,+\,(s^2+1)(Cs+D)[/tex]

dette gir A = C = 0
og
B = D = 1/2
================
slik at

[tex]\large I={1\over 2}\int \frac{ds}{s^2+1}\,+\,{1\over 2}\int \frac{ds}{s^2+3}={1\over 2}\arctan(s)\,+\,...[/tex]

Janhaa wrote:

typisk wrote:Hei!
Hvordan er regelen når jeg skal delbrøkoppspalte dette?
[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}[/tex]
Fasit:
[tex]\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]
Klarer å se sånn ca hva som er gjort, men vet ikke hvordan de klarte det...

[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}=\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]

[tex]s^2+2=(s^2+3)(As+B)\,+\,(s^2+1)(Cs+D)[/tex]

dette gir A = C = 0
og
B = D = 1/2
================
slik at

[tex]\large I={1\over 2}\int \frac{ds}{s^2+1}\,+\,{1\over 2}\int \frac{ds}{s^2+3}={1\over 2}\arctan(s)\,+\,...[/tex]

Det er å komme fra:
[tex]\frac{s^2+2}{(s^2+3)(s^2+1)}[/tex]

til
[tex]\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+3}[/tex]

problemet ligger. Alt annet er greit

Bare at teller'n er en grad lavere enn nevner'n...