Page 1 of 1

Riemann-integral og skjæringssetningen

Posted: 23/04-2010 11:45
by marthho
Oppgaveformulering
La f og g være funksjoner definert på [a,b] der f er voksende og g er kontinuerlig og g(x)≥0 for x[tex]\in[/tex][a,b]. Kan anta at (fra tidligere oppgaver) f og fg er Riemann integrerbare.

Vis at det finnes c [tex]\in[/tex][a,b] slik at

[tex] \int^b_a f(x)g(x) dx = f(a)\int^c_a g(x) dx + f(b)\int^b_c g(x)dx[/tex]

Hva jeg har prøvd
Setter
[tex]F(x) = f(a)\int^x_a g(t) dt + f(b)\int^b_x g(t) dt[/tex]
slik at
[tex]F(a) = f(a)\int^a_a g(t) dt + f(b)\int^b_a g(t) dt = f(b)\int^b_a g(t) dt [/tex]

[tex]F(b) = f(a)\int^b_a g(t) dt + f(b)\int^b_b g(t) dt = f(a)\int^b_a g(t) dt [/tex]

[tex]F(c) = f(a)\int^c_a g(t) dt + f(b)\int^b_c g(t) dt [/tex]

F(a)>F(b) siden f er voksende og g er kontinuerlig og positiv for g(x)>0, x[tex]\in[/tex] [a,b].


Er det riktig så langt?

Skjæringssteningen sier at dersom f : [a,b] [tex]\to \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig og f(a)≥d≥f(b), så finnes det en c [tex]\in[/tex][a,b] slik at f(c)=d.

Posted: 23/04-2010 20:52
by FredrikM
Først må du vise at [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] ligger mellom F(a) og F(b).

Så må du vise at F er kontinuerlig (dette er enkelt).

Så kan du bruke skjæringssetningen.

Posted: 05/05-2010 12:58
by marthho
FredrikM wrote:Først må du vise at [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] ligger mellom F(a) og F(b).
Det er her problemet er.. Klarer ikke å se hvordan [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] oppfører seg, og hva som verdier integralet må være større eller mindre enn. Skal man bruke noen av resultatene fra oppgavene vi kunne anta? Som hva øvre og nedre sum av f på oppdelingen D er?

Huff, er så mange år siden jeg hadde slik matte sist, men trenger litt ekstra for å kunne ta ppu.. Tror nok ikke analyse1 er det beste faget å ta sånn på deltid.

Posted: 05/05-2010 13:12
by FredrikM
Ja, Analyse 1 er ikke barnemat.

Oki.

Legg merke til at [tex]\int_a^b (f(x)-f(b))g(x) dx \leq 0[/tex] siden [tex]g(x) \geq 0[/tex] og [tex]f(b) \geq f(x)[/tex] for alle x. Ganger du ut parentesen får du at
[tex]\int_a^b f(x)g(x) dx \leq \int_a^b f(b)g(x) dx = f(b)\int_a^b g(x) dx[/tex]

Siden dette er F(a), er du godt på vei nå.

Posted: 05/05-2010 13:39
by marthho
Takk! Litt flau over at jeg ikke så den, tenkte alt for komplisert.. Kommer nok tilbake med flere spørsmål på samme nivå. :)