Riemann-integral og skjæringssetningen
Posted: 23/04-2010 11:45
Oppgaveformulering
La f og g være funksjoner definert på [a,b] der f er voksende og g er kontinuerlig og g(x)≥0 for x[tex]\in[/tex][a,b]. Kan anta at (fra tidligere oppgaver) f og fg er Riemann integrerbare.
Vis at det finnes c [tex]\in[/tex][a,b] slik at
[tex] \int^b_a f(x)g(x) dx = f(a)\int^c_a g(x) dx + f(b)\int^b_c g(x)dx[/tex]
Hva jeg har prøvd
Setter
[tex]F(x) = f(a)\int^x_a g(t) dt + f(b)\int^b_x g(t) dt[/tex]
slik at
[tex]F(a) = f(a)\int^a_a g(t) dt + f(b)\int^b_a g(t) dt = f(b)\int^b_a g(t) dt [/tex]
[tex]F(b) = f(a)\int^b_a g(t) dt + f(b)\int^b_b g(t) dt = f(a)\int^b_a g(t) dt [/tex]
[tex]F(c) = f(a)\int^c_a g(t) dt + f(b)\int^b_c g(t) dt [/tex]
F(a)>F(b) siden f er voksende og g er kontinuerlig og positiv for g(x)>0, x[tex]\in[/tex] [a,b].
Er det riktig så langt?
Skjæringssteningen sier at dersom f : [a,b] [tex]\to \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig og f(a)≥d≥f(b), så finnes det en c [tex]\in[/tex][a,b] slik at f(c)=d.
La f og g være funksjoner definert på [a,b] der f er voksende og g er kontinuerlig og g(x)≥0 for x[tex]\in[/tex][a,b]. Kan anta at (fra tidligere oppgaver) f og fg er Riemann integrerbare.
Vis at det finnes c [tex]\in[/tex][a,b] slik at
[tex] \int^b_a f(x)g(x) dx = f(a)\int^c_a g(x) dx + f(b)\int^b_c g(x)dx[/tex]
Hva jeg har prøvd
Setter
[tex]F(x) = f(a)\int^x_a g(t) dt + f(b)\int^b_x g(t) dt[/tex]
slik at
[tex]F(a) = f(a)\int^a_a g(t) dt + f(b)\int^b_a g(t) dt = f(b)\int^b_a g(t) dt [/tex]
[tex]F(b) = f(a)\int^b_a g(t) dt + f(b)\int^b_b g(t) dt = f(a)\int^b_a g(t) dt [/tex]
[tex]F(c) = f(a)\int^c_a g(t) dt + f(b)\int^b_c g(t) dt [/tex]
F(a)>F(b) siden f er voksende og g er kontinuerlig og positiv for g(x)>0, x[tex]\in[/tex] [a,b].
Er det riktig så langt?
Skjæringssteningen sier at dersom f : [a,b] [tex]\to \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig og f(a)≥d≥f(b), så finnes det en c [tex]\in[/tex][a,b] slik at f(c)=d.