matematikk.net

Vi har en planet med masse M, radius r, og en ball med masse m. Planeten har en omdreiningstid på T.

Hvis vi nå kaster ballen rett opp (se bort i fra den horisontale farten omdreiningen tilfører ballen), hvor raskt må vi kaste den for at den skal lande på samme sted -- en omdreining senere? Anta at omdreiningstiden er lang nok til at endringen i gravitasjonsfeltstyrken under kastet er betydelig.

Se bort i fra luftmotstand.

Jeg har ikke løst denne selv, men har en anelse om at det kan bli noen gøyale diffligninger.

Edit: Hvis det blir vanskelig å løse algebraisk kan du bruke jordas masse, radius og omdreiningstid.

Til den som ikke har de tilstrekkelige fysikkunnskapene:

Den autonome differensialligningen

[tex]\ddot{x}=-\frac{GM}{(r+x)^2}[/tex]

må løses.

Det samme kommer jeg frem til.

[tex]\ddot y + \frac{GM}{y^2} = 0[/tex]

Men jeg har ikke snøring på hvordan den løses.

Mathematica gir meg

[tex]y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2 e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2u}\right),\qquad y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2 u}\right)[/tex]

der u = GM.

Problemet mitt nå er å finne [tex]C_1,\, C_2[/tex] som tilfredstiller randkravene. y[0] = r, og y'[0] = x.[/tex]

En liknende oppgave: Hvor høyt går ballen dersom du kaster den med en fart v?

Gommle wrote:[tex]y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2 e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2u}\right),\qquad y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2 u}\right)[/tex]

Den der inneholder den inverse erf funksjonen. Den er ikke/element'r, dvs det finnes ingen analytisk løsning gitt i elementære funksjoner.

Det kom jeg frem til også, så jeg antar jeg må løse den numerisk.

Noen tips til hvordan det kan gjøres i Mathematica eller andre program?

Kanskje en Laplacetransformasjon er på sin plass?