Summer av primtallspotenser lik andre potenser
Posted: 16/04-2010 12:46
La [tex]p[/tex] være et primtall, og [tex]a[/tex] og [tex]n[/tex] være positive heltall. Vis at dersom [tex]2^p + 3^p=a^n[/tex] er [tex]n=1[/tex].
Hvis p=2, så må [tex]2^2+3^2=13 =a^n[/tex], så n=1.
Anta at p er odde.
[tex]a^n=2^p+3^p=2^p+(-2)^p=0 \pmod 5[/tex], så 5 | a.
Anta at n > 1. Da må
[tex]25 | a^n[/tex], så [tex]2^p+3^p = 0 \Rightarrow -2^p=3^p \Rightarrow -(2 \cdot 12)^p=(3 \cdot 12)^p \Rightarrow 11^p=1 \pmod {25}[/tex] . Av eulers teorem er p ordenen til 11, og da må [tex]p | \phi(25)=20[/tex], eller så må p være et multippel av ordenen til 11. Sistnevnte er umulig, så p = 2 eller 5. Men p er odde, så p=5.
Vi har da at [tex]a^n=2^5+3^5=275=11 \cdot 25[/tex], som er umulig.