Page 1 of 1

En integraloppgave

Posted: 15/04-2010 14:25
by Mortenha
Regn ut dette integralet: [symbol:integral] sin(x)^2/(1+sin(x)^2)dx

Re: En integraloppgave

Posted: 15/04-2010 14:52
by Janhaa
Mortenha wrote:Regn ut dette integralet: [symbol:integral] sin(x)^2/(1+sin(x)^2)dx
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %5E2%29+dx

hintet er nok trigonometrisk substitusjon...som ikke er pensum på vgs...

En integraloppgave

Posted: 15/04-2010 15:02
by Mortenha
Ok Janhaa. Oppgaven er ment for studenter på universitetsnivå, men jeg vil gjerne at dere prøver å løse den...

Re: En integraloppgave

Posted: 15/04-2010 15:08
by Janhaa
Mortenha wrote:Ok Janhaa. Oppgaven er ment for studenter på universitetsnivå, men jeg vil gjerne at dere prøver å løse den...
vi er nok flere her inne som klarer det (i all beskjedenhet!), men nå som vi har fått Wolfram...er jeg (vi) blitt late..

trykk bare på show steps, på linken jeg sendte deg...og Wolfram tryller fram alt (inkl mellomregninger).

Posted: 15/04-2010 15:09
by Nebuchadnezzar
Håper dette hjelper deg til å integreret stykket. Omforinging kan gjøre ting lettere

[tex]\frac{{\sin \left( x \right)^2 }}{{1 + \sin \left( x \right)^2 }} = \frac{1}{{\csc \left( x \right)^2 + 1}} = \frac{{\cos \left( {2x} \right) - 1}}{{\cos \left( {2x} \right) - 3}}[/tex]

Har du prøvd polynomdivisjon ? Eventuelt hva har du prøvd?

En integraloppgave

Posted: 15/04-2010 15:17
by Mortenha
Svar til Nebuchadnezzar: Polynomdivisjon? Ja, det kan du bruke.
Du står da igjen med henholdsvis [symbol:integral] dx og [symbol:integral] dx/(1+sin(x)^2). Dette kan løses ved hjelp av formler for cosinus til dobbelte vinkler...

Posted: 15/04-2010 16:16
by Nebuchadnezzar
Grov skisse hvordan jeg ville løst den

[tex] \int {\frac{{\sin \left( x \right)^2 }}{{1 + \sin \left( x \right)^2 }}dx} = \int {1 + \frac{1}{{\sin \left( x \right)^2 + 1}}dx} = x + \int { - \frac{2}{{\cos \left( {2x} \right) + 3}}dx = x + \frac{{\arctan \left( {\sqrt 2 \tan \left( x \right)} \right)}}{{\sqrt 2 }} + C} [/tex]

[tex] F{\o}rste{\rm{ subsitusjon er jo {\aa}penbart }}u = 2x{\rm{ og }}dx = \frac{{du}}{2} [/tex]

[tex] Neste{\rm{ }}subsitusjon{\rm{ }}er{\rm{ }}u = \tan \left( {\frac{u}{2}} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}dx = \frac{2}{{1 + \tan \left( {\frac{u}{2}} \right)^2 }}du [/tex]

[tex] {\rm{Resten er bare griseregning}}...{\rm{ }} [/tex]

Virker som du allerede har løst denne oppgaven, denne delen av forumet er ment til hjelp. Mens nøtter og utfordringer postes i en annen del av forumet.

Selv om jeg ikke ville kalt denne en nøtt ^^

Løsningen til integralet

Posted: 15/04-2010 16:32
by Mortenha
Du har brukt helt riktig fremgangsmåte for løsning av integralet blant annet ved å ha brukt substitusjonen u=tan(x/2), men det skal være et minus fortegn mellom leddet x og leddet 1/ [symbol:rot] 2* atan( [symbol:rot] 2*tan(x)) istedet for pluss i det endelige svaret ditt.
Ellers er alt riktig, Nebuchadnezzar.