Differensiallikning

[Suspect]

Hallo! Jeg hadde heldagsprøve i R2 idag og vi fikk blant annet denne oppgaven:

En ball med masse m = 2 kg blir sluppet fra en høyde h = 30 m. Vi sier at luftmotstanden er proposjonal med farten v. Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan få når den faller, er 40 m/s. Vi lar tyngdeakslerasjonen være 10 m/s^2

I denne oppgaven vil vi regne uten benevninger

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at faten på tilfredstille differensiallikningen:

v' + 1/4v = 10

der v = v(t) er farten etter t sekunder

A) Forklar at v(0) = 0 og løs differensiallikningen

Etter t sekunder har ballen falt strekningen s gitt ved s'(t) = v(t)

B) Finn et utrykk for s(t)

C) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

Istedenfor å sleppe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten V0

D) Hva må v0 være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?

Jeg tror jeg greide oppgave A, men siden jeg ikke har hatt fysikk som tydlighvis dette hjalp for måtte jeg bare ressonere meg frem til svar på B, C og D noe jeg tror ble feil. Er det noen som har løsningen?

[Janhaa]

A)
¨v(0) = 0 fordi start farta er lik null m/s

[tex]v^,+0,25v=10[/tex]

[tex]{dv\over dt}=10-0,25v[/tex]

[tex]\int\frac{dv}{10-0,25v}=\int dt[/tex]

integrerer og får C=-4ln(10)
slik at:
[tex]v(t)=v=40(1-e^{-0,25t})[/tex]

[Suspect]

Hmm

Jeg tror jeg kom frem til

v´ = (e^1/4x) + 40

Så at du kom frem til -1/4 men når jeg så i boka, da dette var en del 2 oppgave ganget de -1/4 bort og kom frem til 1/4, vet ikke om dette stemmer?

[Janhaa]

jeg mener å ha riktig på A)
----------------------
B)

[tex]v(t)=s^,(t)=40(1-e^{-0,25t})[/tex]

[tex]\int ds=40\int\left(1-e^{-0,25t}\right)\,dt[/tex]

[tex]s=40t+160e^{-0,25t}+C[/tex]

s(0) = 0, gir C = -160

[tex]s(t)=s=40t+160e^{-0,25t}-160[/tex]