Primtall i nærheten av primtalls primtallspotenspotenser
Posted: 12/04-2010 02:40
Vis at om [tex]n[/tex] ikke er en primtallspotens (dvs på formen [tex]p^m[/tex] for et primtall [tex]p[/tex]) er [tex]n^n+1[/tex] ikke et primtall.
[tex]n = 1[/tex] gir [tex]n^n \:+\: 1 \:=\: 1^1 \:+\: 1 \:=\: 2[/tex] som er et primtall.
Når [tex]n \,>\, 1[/tex] er et oddetall, blir [tex]n^n + 1[/tex] et partall større enn 2 og følgelig ikke et primtall.
Anta at [tex]n[/tex] et partall som er delelig på et oddetall [tex]k\,>\,1[/tex]. Da er [tex]n = mk[/tex] for et partall [tex]m[/tex]. Dette medfører igjen at
[tex]n^n \:+\: 1 \;=\; n^{mk} \:+\: 1 \;=\; a^k \:+\: 1 \;=\; (a \:+\: 1)(a^{k-1} \:-\: a^{k-2} \:+\: ... \:-\: a \:+\: 1)[/tex]
der [tex]a = n^m \,>\, 1[/tex]. Vi observerer at begge faktorene [tex]a \:+\: 1 \:>\: 1[/tex] og [tex]\frac{a^k\:+\:1}{a\:+\:1} \:>\: 1[/tex]. Herav følger at [tex]a^k \,+\, 1 \:=\: n^n \,+\, 1[/tex] ikke er et primtall.
Konklusjon: [tex]n^n \,+\, 1[/tex]kan bare være et primtall når [tex]n \,=\, 2^c [/tex] der [tex]c[/tex] er et ikke-negativt heltall.