matematikk.net

Vis at et positivt oddetall, som ikke er et primtall, alltid kan skrives som en differanse mellom to kvadrattall, og også som en differanse mellom to andre kvadratall.

Selvlaget oppgave, så dere får smekke meg på fingrene hvis det faktisk ikke stemmer:P

Joda, dette stemmer dette, med unntak av 1. La [tex]a=2k+1[/tex] være et positivt oddetall. Siden [tex]a[/tex] ikke er et primtall og ikke lik én finnes positive oddetall [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex], begge større enn én, slik at [tex]a=bc[/tex] og [tex]b>c[/tex]. Likningssettet [tex]x+y=b[/tex], [tex]x-y=c[/tex] har løsningene [tex]x=\frac{b+c} 2[/tex] og [tex]y=\frac{b-c} 2[/tex], som begge er heltall (da b og c begge er oddetall), og vi har da at [tex]a=bc=x^2-y^2[/tex]. Dessuten er [tex]a=(\frac {a+1} 2)^2-(\frac{a-1} 2)^2[/tex]. Disse to er forskjellige, da likningen [tex]a+1=b+c[/tex] gir [tex]bc-b-c+1=0[/tex], eller [tex](b-1)(c-1)=0[/tex] og [tex]b=1[/tex] eller [tex]c=1[/tex], som er umulig, da vi valgte b og c større enn 1.

Ser bra ut dette her:)