Page 1 of 1
Heine-borel
Posted: 22/03-2010 21:11
by Charlatan
La mengden av reelle åpne intervaller [tex]S = \{ (a_i,b_i) | i \in I \}[/tex] være slik at [tex][0,1] \subset \bigcup_{i \in I} (a_i,b_i)[/tex]. Vis at det finnes et endelig antall intervaller [tex](a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...,(a_m,b_{m}) \in S[/tex] slik at [tex][0,1] \subset \bigcup_{j = 1}^m (a_j,b_j) [/tex].
Posted: 22/03-2010 21:56
by Markonan
Mulig jeg har misforstått denne oppgaven noe.
Skal det være [0,1]? Hvis ikke er dette noe jeg ikke har vært borti.
Kan man ikke da definere et enkelt åpent intervall for en vilkårlig epsilon > 0
[tex](-\varepsilon,\, 1+\varepsilon)[/tex], for da er
[tex][0,1]\subset(-\varepsilon,\, 1+\varepsilon)[/tex]
Posted: 22/03-2010 22:00
by Charlatan
Markonan wrote:Mulig jeg har misforstått denne oppgaven noe.
Skal det være [0,1]? Hvis ikke er dette noe jeg ikke har vært borti.
Stemmer, det skal være [0,1] og ikke [1,0].
Markonan wrote:Kan man ikke da definere et enkelt åpent intervall for en vilkårlig epsilon > 0
[tex](-\varepsilon,\, 1+\varepsilon)[/tex], for da er
[tex][0,1]\subset(-\varepsilon,\, 1+\varepsilon)[/tex]
Problemet går ut på å vise at det eksisterer et endelig utplukk av intervaller fra enhver mengde åpne intervaller som tilfredsstiller det ovenfor, slik at utplukket tilfredsstiller det samme. Man har altså ingen frihet til å definere intervallene selv på noen måte.
Posted: 22/03-2010 22:04
by Markonan
Aha, da skal jeg prøve litt til.
Er forøvrig flink til å meg sånne friheter, til professorenes store ergrelse.
(Tenkte det var mengden av alle åpne intervaller for en eller annen grunn).
Posted: 23/03-2010 01:25
by Gustav
La S være en åpen overdekning av [0,1].
Anta at det ikke fins en endelig suboverdekning.
Deler vi opp intervallet i midten, må da minst ét av intervallene [0,1/2] eller [1/2,1] være slik at det ikke har en endelig suboverdekning. Kall dette intervallet [tex]C_1[/tex].
Deler vi dette intervallet igjen på midten, må en av de to nye intervallene være uten en endelig suboverdekning. Kall dette [tex]C_2[/tex] etc. Fortsetter man slik og betrakter snittet [tex]\cap_{i=1}^{\infty} C_i[/tex], vil dette være et punkt i [0,1], som er dekket av ett enkelt element s i S. Da fins det en j slik at [tex] C_j[/tex] er inneholdt i det åpne intervallet s.
Posted: 24/03-2010 20:19
by Karl_Erik
Oppfølger: Utled analysens fundamentalaksiom fra konklusjonen. (Om jeg ikke tuller skal dette gå.)