PDE, product metoden.

[Pickford]

Hei,
sliter litt med løsing av PDEs med produkt metoden.

Det er en smal sak å separere variablane, og finne to ODEs.

Vi har det fint, og som regel er det en dimensjonal varme likninga, eller bølgelikninga vi har med å gjere.

Etter å ha separert variablane er det vanligvis ei av dei som gir ei genrell løysing på forma A sin x + B cos x -- finn konstantane og det er god stemning.

Problemet oppstår når eg skal finne løysinga på den andre. I løysingsforslaga eg har sett står det som regel
Antar at G(t) har løsning på formen e^pt.

Hvofor kan vi anta det? For at det skal passe med en trigonometrisk løsning på formen e^pt(A sin |pt| + B cos |pt|), eller hur?

Sett kjempe stor pris på en god forklaring, eller henvisning til litteratur

[Gustav]

Det kommer an på hva slags ODE du kommer frem til etter at du har separert.. Har du et konkret eksempel?

[Gustav]

Den endimensjonale varmeligninga er jo f.eks.


[tex]\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/tex]


Ansatz: [tex]u(t,x)=G(t)H(x)[/tex]. Da får vi

[tex]H \dot{G}= G \frac{\partial^2 H}{\partial x^2}[/tex]


Da får vi to ligninger,

[tex]\dot{G}=-\lambda G \\ \frac{\partial^2 H}{\partial x^2}=-\lambda H[/tex]

Den første ligningen løser man ved direkte integrasjon, siden den er en separabel førsteordens ligning.

Den andre ligningen er en andreordens lineær, homogen ligning med konstante koeffisienter. Da vil man alltid anta at løsningene av denne er på formen [tex]e^{kx}[/tex]. Hvorfor det er slik? Vel, du kan se på det som en kvalifisert gjetning. Det er uansett bare å lære seg å kjenne igjen slike andreordens ligninger, og lære seg algoritmen for hvordan man løser dem, for de oppstår veldig ofte i f.eks. fysikk.

[Pickford]

Tusen takk for svar, plutarco:)

Ser at innlegget blei skrevet litt forhastet. Har fått litt mer kontroll, men det er enda noen løse tråder. Plager dere med dem senere:)

[Pickford]

Tusen takk for svar, plutarco:)

Ser at innlegget blei skrevet litt forhastet. Har fått litt mer kontroll, men det er enda noen løse tråder. Plager dere med dem senere:)