Primfølge
Posted: 14/02-2010 16:28
Er det mulig å velge en [tex]a_0[/tex] slik at følgen definert ved [tex]a_n = n+(-1)^na_{n-1}[/tex] for [tex]n>0[/tex] inneholder kun et endelig antall primtall?
Nei. La [tex]a_0=A[/tex]. Vi viser da forholdsvis lett ved induksjon at for [tex]k\in \mathbb{N}[/tex] har vi at [tex]a_{4k}=4k+A[/tex], [tex]a_{4k+1}=1-A[/tex], [tex]a_{4k+2}=4k+3-A[/tex], og [tex]a_{4k+3}=A[/tex].
Skriv [tex]A=4m+a[/tex] der [tex]0 \leq a \leq 3[/tex]. Hvis [tex]a=0[/tex] er [tex]a_{4k+2]=4(k+m)+3[/tex], som må inneholde uendelig mange primtall. (Siden følgen [tex]b_n=4n+3[/tex] inneholder uendelig mange primtall.)
Hvis [tex]a=1[/tex] er [tex]a_{4k}=4(k+m)+1[/tex], som må inneholde uendelig mange primtall siden følgen [tex]b_n=4n+1[/tex] gjør det.
Hvis [tex]a=2[/tex] er [tex]a_{4k+3}=4(k+m)+1[/tex], som som i forrige avsnitt inneholder uendelig mange primtall.
Hvis [tex]a=3[/tex] er [tex]a_{4k}=4(k+m)+3[/tex], som igjen inneholder uendelig mange primtall.
Siden alle mulighetene for [tex]a[/tex] (om enn noe uelegant behandlet) fører til uendelig mange primtall betyr dette at samme hvordan vi velger [tex]a_0=A[/tex] må det være uendelig mange primtall i følgen, og vi er ferdige.