Maksimum
Posted: 12/02-2010 21:52
Hvor har funksjonen [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] sitt globale maksimum?
[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}})[/tex]
Denne hadde en stygg derivasjon...
Oppfølger: Finn bunnpunktet til [tex]x^x[/tex]
Page 1 of 1
Posted: 12/02-2010 22:17
Posted: 12/02-2010 22:22
Du må definere definisjonsmengden først. Går ut ifra at det er [tex]\mathbb{C}[/tex], siden du sier toppunkt...
Posted: 12/02-2010 22:23
Er vell ganske opplagt at den er strengt voksende, og derfor har maksimum når x=uendelig, og da er funksjonen uendelig.Nebuchadnezzar wrote:
Oppfølger: Finn toppunktet til [tex]x^x[/tex]
Posted: 12/02-2010 22:27
Det kommer vel an på hva en mener med toppunkt? Kanskje han mener det lokale toppunktet, dvs [tex]\Re (x^x)[/tex], for negative x?Audunss wrote:Er vell ganske opplagt at den er strengt voksende, og derfor har maksimum når x=uendelig, og da er funksjonen uendelig.Nebuchadnezzar wrote:
Oppfølger: Finn toppunktet til [tex]x^x[/tex]
Posted: 12/02-2010 22:38
greit nok, kan være annerledes om han sier noe om definisjonsmengden, men så lenge det bare er den funksjonen, vil den ha størst verdi for uendelig så vidt jeg kan se.
Posted: 12/02-2010 22:39
Om ti tar en titt på funksjonen[tex] f(x)=\sqrt[x]{x}[/tex] kan vi skrive dette som [tex]f(x)=x^{1/x}[/tex]
Om x er mindre enn 0 vil vi få komplekse tall. Om vi lar x vokse mot uendelig ser vi at [tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=1[/tex] siden brøken vil gå mot null.
Altså er definisjonsmengden [tex][x>0][/tex]
Om vi lager en fortegnslinje for den deriverte som er, orker ikke mer latex
[tex] f(x)=\sqrt[x]{x}[/tex]
Bruker en smart omskrivning her med [tex]e^x[/tex] for å løse derivasjonen
[tex] f^{\prime}(x)=x^{1/x}( \frac{-\ln(x)+1}{x})[/tex]
Kan skrives om til
[tex] f^{\prime}(x)=-x^{-\frac{-1+2x}{x}}(\ln(x)-1)[/tex]
Første delen vil alltid være positivt. Løser vi siste del får vi at
[tex]x=e[/tex]
som gir oss toppunktet
[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}} )[/tex]
Fornøyd ?
Om x er mindre enn 0 vil vi få komplekse tall. Om vi lar x vokse mot uendelig ser vi at [tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=1[/tex] siden brøken vil gå mot null.
Altså er definisjonsmengden [tex][x>0][/tex]
Om vi lager en fortegnslinje for den deriverte som er, orker ikke mer latex
[tex] f(x)=\sqrt[x]{x}[/tex]
Bruker en smart omskrivning her med [tex]e^x[/tex] for å løse derivasjonen
[tex] f^{\prime}(x)=x^{1/x}( \frac{-\ln(x)+1}{x})[/tex]
Kan skrives om til
[tex] f^{\prime}(x)=-x^{-\frac{-1+2x}{x}}(\ln(x)-1)[/tex]
Første delen vil alltid være positivt. Løser vi siste del får vi at
[tex]x=e[/tex]
som gir oss toppunktet
[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}} )[/tex]
Fornøyd ?
Posted: 12/02-2010 22:45
Joda. 
Kunne du forresten opplyse litt om oppfølgeroppgaven din?
Kunne du forresten opplyse litt om oppfølgeroppgaven din?
Posted: 12/02-2010 23:07
^^ Går litt fort i svingene.Nebuchadnezzar wrote:[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}})[/tex]
Denne hadde en stygg derivasjon...
Oppfølger: Finn bunnpunktet til [tex]x^x[/tex]
Edit: to oppgaver som er lignende, men også gøye er jo.
a) Finn det største stigningstallet til [tex]\sqrt[x]{x}[/tex]
b) Finn arealet mellom [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] og [tex]x^x[/tex] langs [tex]x[/tex] aksen fra 0 til 1