Derivasjon

[mr.math]

Hei, jeg sliter med en oppgave i derivasjon, og setter pris på hjelp.

Oppgaven er som følger:

x^3+x^2-x/x

svaret skal være 2x+1, men får ikke dette til.

[gabel]

[tex]f(x)=x^3+x^2-\frac xx=x^3+x^2-1\\f^,(x)=3x^2+2x[/tex]

Så du må ha lest av feil oppgave, ellers så er det nok feil i fasiten.

[Markonan]

Tror nok oppgaven er:
[tex]\frac{x^3 + x^2 - x}{x}[/tex]

Faktoriserer ut x i telleren.
[tex]\frac{x(x^2 + x - 1)}{x}[/tex]

Stryker x i teller mot x i nevner.
[tex]\frac{\cancel{x}(x^2 + x - 1)}{\cancel{x}}[/tex]

Står da igjen med:
[tex]x^2 + x - 1[/tex]

Den klarer du å derivere?

[mr.math]

Merker at jeg var litt uklar, men hele dette uttrykket (x^3+x^2-x) skal deles på x. Så det blir (x^3+x^2-x)/x.

[mr.math]

Tror nok oppgaven er:
[tex]\frac{x^3 + x^2 - x}{x}[/tex]

Faktoriserer ut x i telleren.
[tex]\frac{x(x^2 + x - 1)}{x}[/tex]

Stryker x i teller mot x i nevner.
[tex]\frac{\cancel{x}(x^2 + x - 1)}{\cancel{x}}[/tex]

Står da igjen med:
[tex]x^2 + x - 1[/tex]

Den klarer du å derivere?

Herlig, tusen takk!

[mr.math]

Forsøkte å gjenta sukseen med å se om jeg kunne gjøre noe over, og under snippen, men tok ikke langt tid før jeg møtte veggen.

(x^2+3x-1)/3

fasiten sier 2/3x+1.

Hvilken regel skal man bruke i dette tilfellet? utenom grunnregelen i derivasjon?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{(u^{\prime}\cdot v)-(u \cdot v^{\prime})}{v^2}[/tex]

EDIT. Åpenbart tenker jeg altfor avansert. Formelen over fungerer, men du trenger ikke å bruke den i dette tilfelle

[tex]\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{3} = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{3x}}{3} - \frac{1}{3}[/tex]

Klarer du nå resten ?

[mr.math]

[tex]\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{(u^{\prime}\cdot v)-(u \cdot v^{\prime})}{v^2}[/tex]

EDIT. Åpenbart tenker jeg altfor avansert. Formelen over fungerer, men du trenger ikke å bruke den i dette tilfelle

[tex]\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{3} = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{3x}}{3} - \frac{1}{3}[/tex]

Klarer du nå resten ?

Så for meg svaret nå, takk!

[Markonan]

En annen måte er å bruke derivasjonsregelen som sier du kan sette konstanter utenfor.
[tex]\left(\frac{x^2+3x-1}{3}\right)^\prime = \frac{1}{3}\left(x^2 + 3x - 1\right)^\prime \;\Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{1}{3}\left(2x + 3\right) \;=\; \frac{2}{3}x + 1[/tex]

[mr.math]

Sitter fast i denne oppgaven og trenger et lite dytt. Det står at jeg skal bruke blant annet kjerneregel til å derivere.

(x^2-1) * [symbol:rot]x

Jeg har forsøkt å derivere begge slik at det ser slik ut:

1/2[symbol:rot]x * 2x

Jeg kommer ikke videre, svaret skal være 5x^2-1/2[symbol:rot] x

[Markonan]

Tror ikke jeg leser oppgaven riktig.

Er dette oppgaven?
[tex](x^2 - 1)\cdot\sqrt{x}[/tex]

Er dette fasitsvaret?
[tex]5x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[mr.math]

oppgaven har du lest riktig, men fasiten er (5x^2-1)/2[symbol:rot]x. Dvs. hele dette uttrykket (5x^2-1) skal deles på 2 [symbol:rot]x

[Markonan]

Aha. Nå ser jeg det. Fint om du markerer sånt med parenteser, hvis ikke kan det bli litt kronglete å lese.

Slik oppgaven er skrevet opp er det produktregelen og ikke kjerneregelen som er veien å gå. Det enkleste er kanskje å bare gange inn kvadratroten til x inn i uttrykket først å så derivere det med vanlig potensregler.

Det er også praktisk å vite at
[tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}[/tex].

Edit: typo!

[Nebuchadnezzar]

[tex]\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt x = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^{1/2}}} \right) = {x^{2/1}} \cdot {x^{1/2}} - {x^{1/2}} = {x^{4/2 + 1/2}} - {x^{1/2}} = {x^{5/2}} - {x^{1/2}}[/tex]

Dette klarer du vell å derivere ?

I mine øyne er dette en ganske feig måte å gjøre ting på... Så om jeg regner oppgaver i et delkapitell som heter kjerneregelen, så omformer jeg ikke uttrykket før jeg regner det ut.

Om opggaven ikke spesifiserer noe, omformer jeg somoftest utrykket til noe lettere.

Unde er løsningen, men prøv først selv. Helt på slutten er en liten utfordring tild eg som jeg er sikker på at du klarer. Hint skriv om utrykket ^^





[tex] f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt x[/tex]

[tex] u = {x^2} - 1 [/tex]

[tex] \frac{{du}}{{dx}} = 2x [/tex]

[tex] v = \sqrt x [/tex]

[tex] \frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt x }} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \left( {u^{\prime}} \right)v + u\left( {v^{\prime}} \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = 2x\sqrt x + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {2x\sqrt x } \right) + \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt x }}} \right) [/tex]

[tex] \left( {2\sqrt x } \right)\left( {2x\sqrt x } \right) = 2 \cdot 2x \cdot \sqrt x \sqrt x = 2 \cdot 2x \cdot {x^{1/2}}{x^{1/2}} = 4x \cdot {x^{1/2 + 1/2}} = 4x \cdot {x^{2/2}} = 4{x^2} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{4{x^2} + \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2\sqrt x }} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}uv = \frac{{5{x^2} - 1}}{{2\sqrt x }}}} [/tex]

Utfordringen ^^

[tex] {\rm{ }}\sqrt x \ln {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}{\rm{ }}[/tex]

[mr.math]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = 2x\sqrt x + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {2x\sqrt x } \right) + \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt x }}} \right) [/tex] Hmm, her falt jeg ut, hvordan ble overgangen fra 2x[symbol:rot]x til (2[symbol:rot]x / 2[symbol:rot]x) * (2x [symbol:rot]x)?

[tex] \left( {2\sqrt x } \right)\left( {2x\sqrt x } \right) = 2 \cdot 2x \cdot \sqrt x \sqrt x = 2 \cdot 2x \cdot {x^{1/2}}{x^{1/2}} = 4x \cdot {x^{1/2 + 1/2}} = 4x \cdot {x^{2/2}} = 4{x^2} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{4{x^2} + \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2\sqrt x }} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}uv = \frac{{5{x^2} - 1}}{{2\sqrt x }}}} [/tex]

Utfordringen ^^

[tex] {\rm{ }}\sqrt x \ln {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}{\rm{ }}[/tex]