matematikk.net

Vis ved regning, dvs. uten kalkulator eller grafisk hjelpemiddel, at ligningen

[tex]\tan\,x+\frac{1}{\tan\,x}=\cos\,x[/tex]

ikke har noen løsninger.

Vel, her er mitt uelegante forsøk.

[tex]\tan x + \frac{1}{\tan x} = \cos x[/tex]

[tex]\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x[/tex]

[tex]\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x\,\sin x} = \cos x[/tex]

[tex]\frac{1}{\cos x\,\sin x} = \cos x[/tex]

[tex]\frac{1}{\cos x} = \cos x\sin x[/tex]

Observerer så at
[tex]|\frac{1}{\cos x}| \geq 1[/tex] og [tex]|\cos x\sin x| \leq 1[/tex]

Derfor kan de bare ha likhet når absoluttverdien til begge er lik 1.
Men dette er umulig, siden når venstresiden er 1 så er høyresiden
0 pga perioditeten til cos og sin.

Er det grei nok argumentasjon?

Ved nærmere ettertanke kan man vel egentlig bare si;
[tex]|\frac{1}{\cos x}|\geq 1[/tex] og [tex]|\cos x\sin x|<1[/tex]
og viser da direkte vi aldri kan ha likhet.

Jo, argumentasjonen virker 100% gyldig.

Mer elegant enn min løsning forresten. Jeg laget en tredjegradsligning i sin x og viste at den ikke hadde løsninger i [-1,1].