matematikk.net

Sliter litt med funksjoner så er godt med all hjelp jeg kan få ^^

En funksjon [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]x^2 - k x + 2 k[/tex], og en annen funksjon [tex]g(x)[/tex] er gitt ved [tex]5 k - k^2 + x[/tex]
a) Definer når [tex]f(x)[/tex] har et, to eller ingen nullpunkter.
b) Finn ut når det er null, to eller et krysningspunkt mellom [tex]f(x)[/tex] og g(x)
c) Finn det laveste tallet der [tex]x[/tex] skjærer x-aksen for [tex]g(x)[/tex]. Antar de mener det tallet lengst til venstre.
d) Vi trekker en strek parallelt mellom [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] mellom funksjonenes krysningspunkt. Hva er den lengste avstanden denne linjen kan ha ?

Utregninger på det jeg har klart kommer snart ^^

Sliter egentlig mest med de to siste...

På c) kan du jo bruke derivasjon. Hva gjelder for g(x) i krysningspunktet med x-aksen? Kan dette gi deg en relasjon mellom x og k som du kan bruke videre til å finne når x er minst?

Da har jeg klart alle utenom den siste, skal tenke litt mer over den. Implisitt derivasjon er en fin ting ja. Og å legge merke til at g(x) er symmetrisk.

a)

[tex] f\left( x \right) = {x^2} - kx + 2k [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \,=\, \frac{{ - \left( { - k} \right) \pm \sqrt {{{\left( k \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( {2k} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} \,=\, \frac{{k \pm \sqrt {{k^2} - 8k} }}{2} [/tex]

[tex] {k^2} - 8k = 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}k\left( {k - 8} \right) = 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}k = 0 \,\vee\, k = 8 [/tex]

[tex] f\left( x \right)\,har{\rm{ }}1{\rm{ }}nullpunkt{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = 0{\rm{ }}eller{\rm{ }}k = 8 [/tex]

[tex] f\left( x \right)\,har{\rm{ }}2{\rm{ }}nullpunkt{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k < 0{\rm{ }}eller{\rm{ }}k > 8 [/tex]

[tex] f\left( x \right)\,har{\rm{ }}0{\rm{ }}nullpunkt{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 < k < 8 [/tex]


b)

[tex] f\left( x \right) = g\left( x \right) [/tex]

[tex] 5{\rm{ }}k - {k^2} + x = {x^2} - kx + 2k [/tex]

[tex] {x^2} - x - kx + 2k - 5k + {k^2} = 0 [/tex]

[tex] {x^2} + x\left( { - k - 1} \right) + k\left( {k - 3} \right) = 0 [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \,=\, \frac{{ - 1\left( { - k - 1} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - k - 1} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)k\left( {k - 3} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} [/tex]

[tex] {\left( { - k - 1} \right)^2} - 4\left( 1 \right)k\left( {k - 3} \right) = 0 [/tex]

[tex] - 3{k^2} + 14k + 1 + = 0 [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( {14} \right) \pm \sqrt {{{\left( {14} \right)}^2} - 4\left( { - 3} \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( { - 3} \right)}} = \frac{{ - 14 \pm \sqrt {208} }}{{ - 6}} = \frac{{ - 14 \pm 4\sqrt {13} }}{{ - 6}} = \frac{{7 \pm 2\sqrt {13} }}{3} [/tex]

[tex] Funksjonene{\rm{ }}har{\rm{ }}1{\rm{ skj\ae ringspunkt }}n{\aa}r{\rm{ }}k = \frac{{7 - 2\sqrt {13} }}{3}{\rm{ }}eller{\rm{ }}k = \frac{{7 + 2\sqrt {13} }}{3} [/tex]

[tex] Funksjonene{\rm{ }}har{\rm{ 2 skj\ae ringspunkt }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{{7 - 2\sqrt {13} }}{3} < k < \frac{{7 + 2\sqrt {13} }}{3} [/tex]

[tex] Funksjonene{\rm{ }}har{\rm{ 0 skj\ae ringspunkt }}n{\aa}r{\rm{ }}k < \frac{{7 - 2\sqrt {13} }}{3}{\rm{ }}eller{\rm{ }}k > \frac{{7 + 2\sqrt {13} }}{3} [/tex]

c)

[tex] g\left( k \right) = 5k - {k^2} + x [/tex]

[tex] g^{\prime}\left( k \right) = 5 - 2k [/tex]

[tex] g^{\prime}\left( k \right) = k - \frac{5}{2} [/tex]

[tex] k = \frac{5}{2} [/tex]

[tex] g\left( k \right) = 5k - {k^2} + x \Rightarrow g\left( {\frac{5}{2}} \right) = 5\left( {\frac{5}{2}} \right) - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + x \Rightarrow \left( {\frac{{100 - 25}}{4}} \right) + x = 0 \Rightarrow x = - \frac{{15}}{4} [/tex]

Altså er den minste verdien [tex]x[/tex] kan ha
[tex]g\left( k \right) = 5k - {k^2} + x \Rightarrow g\left( {\frac{5}{2}} \right) = 5\left( {\frac{5}{2}} \right) - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + x \Rightarrow x + \frac{{25}}{2} - \frac{{25}}{4} \Rightarrow x + \frac{{50 - 25}}{4} \Rightarrow x = - \frac{{25}}{4}[/tex]

Så skal jeg tygge litt mer på d)

Det var faktisk ikke implisitt derivasjon jeg hadde i tankene, men jeg ser jo nå at det i grunn er det som skjer... For å føre det mer VGS-vennlig blir det noe slikt:

g(x) = 0 når den krysser x-aksen. Da må [tex]5k - k^2 + x = 0[/tex]. Det gir oss at i et hvert krysningspunkt med x-aksen så er x-verdien gitt ved [tex]x = k^2 - 5k[/tex]. Altså kan vi si at x i krysningspunktet er en funksjon av k: [tex]x(k) = k^2 - 5k[/tex]. Den minste x-verdien i et krysningspunkt blir da minimumet til denne funksjonen som vi finner ved å derivere med hensyn på k og sette lik 0 og så videre.

Når det gjelder d) så er det å tenke i lignende baner igjen. Begynn f.eks. med å finne et uttrykk for krysningspunktene uttrykt ved k...

[tex] f\left( x \right) = {x^2} - kx + 2k [/tex]

[tex] g\left( x \right) = 5k - {k^2} + x [/tex]

[tex] h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) [/tex]

[tex] h\left( x \right) = \left( {{x^2} - kx + 2k} \right) - \left( {5k - {k^2} + x} \right)[/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} - kx + 2k - 5k + {k^2} - x [/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} - kx - x - 3k + {k^2} [/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} + x\left( { - 1 - k} \right) + k\left( {k - 3} \right) [/tex]

[tex] k = \frac{{3 + x \pm \sqrt {\left( {x - \frac{{5 - 2\sqrt {13} }}{3}} \right)\left( {x - \frac{{5 + 2\sqrt {13} }}{3}} \right)} }}{2} [/tex]


[tex] h^{\prime}\left( x \right) = 2x - x - 1{\rm{ }}{\rm{.}} \Rightarrow {\rm{ }}x = 1 [/tex]

[tex] h^{\prime}\left( k \right) = - k - 3 + 2k \Rightarrow k = 3 [/tex]

[tex] Som\,{\rm{ ikke stemmer}}...{\rm{ }}[/tex]


Må nok tenke litt mer enn dette ^^ Mister litt taket på slutten, forstår ikke helt hva jeg skal derivere med tanke på...

Ifølge geogebra skal [tex]k \approx 2.4 \, x \approx 1.7 [/tex]og lengden skal være ca [tex]4.33[/tex]

Hm, skal linja være parallell med x-aksen? Altså at det er snakk om avstanden mellom punktene i x-retning? Var litt vrient å tolke teksten.

http://img696.imageshack.us/img696/9518 ... tmulig.png

Ah, såpass.

Da er du på rett spor. Men når du har funnet h(x), hvorfor begynner du å uttrykke k ved x?

Jeg ville ha fortsatt som man ville gjort om k var et eller annet tall. Da ville du vel ha derivert h med hensyn på x og satt lik 0. Det gir deg et uttrykk for x-verdien til bunnpunktet til h ( der høyden er størst.) Nå kan du sette dette uttrykket inn for x i høydefunksjonen for å finne høyden i dette punktet. Da vil du sitte igjen med maksimumshøyden for alle funksjoner som funksjon av k.

[tex] f\left( x \right) = {x^2} - kx + 2k [/tex]

[tex] g\left( x \right) = 5k - {k^2} + x [/tex]

[tex] h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) [/tex]

[tex] h\left( x \right) = \left( {{x^2} - kx + 2k} \right) - \left( {5k - {k^2} + x} \right) [/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} - kx + 2k - 5k + {k^2} - x [/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} - kx - x - 3k + {k^2} [/tex]


[tex] Deriverer{\rm{ med tanke p{\aa} k}} [/tex]

[tex] h^{\prime}\left( k \right) = 3 - 2k + x [/tex]

[tex] x = 2k - 3 [/tex]

[tex] h\left( x \right) = {x^2} - kx - x - 3k + {k^2} [/tex]

[tex] h\left( {2k - 3} \right) = {\left( {2k - 3} \right)^2} - k\left( {2k - 3} \right) - \left( {2k - 3} \right) - 3k + {k^2} [/tex]

[tex] h\left( {2k - 3} \right) = {\left( {2k - 3} \right)^2} - k\left( {2k - 3} \right) - \left( {2k - 3} \right) - 3k + {k^2} [/tex]

[tex] h\left( {2k - 3} \right) = 14k - 3{k^2} - 12 [/tex]

[tex] h^{\prime}\left( {2k - 3} \right) = - 6k - 14 [/tex]

[tex] k = \frac{7}{3} [/tex]


[tex] h\left( k \right) = 14k - 3{k^2} - 12 [/tex]

[tex] h\left( {\frac{7}{3}} \right) = 14\left( {\frac{7}{3}} \right) - 3{\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 12 [/tex]

[tex] h\left( {\frac{7}{3}} \right) = \frac{{13}}{3} [/tex]

[tex] h\left( {\frac{7}{3}} \right) = {x^2} - \left( {\frac{7}{3}} \right)x - x - 3\left( {\frac{7}{3}} \right) + {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} [/tex]

[tex] h\left( {\frac{7}{3}} \right) = \left( {x - \frac{{5 + \sqrt {39} }}{3}} \right)\left( {x - \frac{{5 - \sqrt {39} }}{3}} \right) [/tex]

[tex]Lengste{\rm{ avstand som kan bli plassert mellom funksjonenes nullpunkt er}} [/tex]

[tex] \frac{{13}}{3}{\rm{ n{\aa}r }}k = \frac{7}{3}{\rm{ som n{\aa}r }}x = \frac{{5 - \sqrt {39} }}{3} [/tex]


Da har jeg det nesten, hvorfor blir x verdien min feil ? Resten er jo riktig...

Først og fremst kan du jo regne x-verdien ut fra at x = 2k -3.

Grunnen til at det blir feil svar med den metoden du bruker, er rett og slett at du går ut i fra at h(7/3) = 0 (siden du faktoriserer som om det skulle stått det). Du må huske at høyden skal være lik 13/3.

Småprik, men i tillegg er det feil å skrive h(7/3) og så sette inn for k når det faktisk er en funksjon av x.