matematikk.net

[tex]\sum_{n=0}^N \frac{d^ny}{dx^n}=c[/tex]

Der [tex]\frac{d^0y}{dx^0}=y[/tex] og [tex]c[/tex] er konstant.

[tex]y+y^,+y^{,,}+...y^{(N)}=c[/tex]

Dersom N er oddetall er én familie av løsninger ihvertfall [tex]y= c+Ae^{-x}[/tex]

Innsetting gir nemlig

[tex]c+Ae^{-x}-Ae^{-x}+Ae^{-x}-...-Ae^{-x}=c[/tex]

En partikulær løsning er opplagt y=c.

Den homogene likninga har da følgende karakteristiske polynom:

[tex]\sum_{n=0}^{N} r^n=\frac{r^{N+1}-1}{r-1}=\prod_{k=1}^N r-e^{2\pi k i}[/tex]

Generelt er løsningen da:

[tex]y(x)=c+\sum_{k=1}^N c_k e^{xe^{2\pi k i}}[/tex]