matematikk.net

Vis at

[tex]\int_0^1 \frac{x^x+x^{-x}}{2}\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2n-1}}[/tex]

ved blant annet å bruke rekkeutviklingen

[tex]e^x=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!}[/tex]

[tex]I=\int^1_0\frac{ x^x+x^{-x}}{2}\rm{d}x=\int^1_0 \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(x \log x)^{2n}}{(2n)!} \rm{d}x[/tex]

Vi har at

[tex]\int x^k(\log x)^k \rm{d}x=[\frac{x^{k+1}(\log x)^k}{k+1}]-\frac{1}{k+1}\int x^k (\log x)^{k-1}\rm{d}x[/tex]

så ved induksjon er

[tex]\int x^k(\log x)^k \rm{d}x=x^{k+1}[\frac{(\log x)^k}{k+1}-\frac{(\log x)^{k-1}k}{(k+1)^2}+\frac{(\log x)^{k-2}k(k-1)}{(k+1)^3}-...+\frac{(-1)^{k-1}k! \log x}{(k+1)^k}+\frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}}]+C[/tex].

Vi ser enkelt da at [tex]\int^1_0 x^k(\log x)^k \rm{d}x=\frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}}[/tex], siden [tex]\lim_{x \to 0}(\log x)^kx=0[/tex] (tilfeldigvis stemmer formelen også for [tex]k=0[/tex])

Da er [tex]I= \sum^{\infty}_{n=0} \int^1_0 \frac{(x \log x)^{2n}}{(2n)!} \rm{d}x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)^{2n+1}}=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{(2n-1)^{2n-1}}[/tex]

Vi kan bytte plass på summetegnet og integraltegnet siden leddene konvergerer uniformt mot 0 på (0,1).

Oppfølger:

Finn den generelle formelen for den n'te integrerte av [tex]f(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex] (eksplisitt; altså uten summetegn, rekursiv definisjon, etc..)

Hint: Delbrøkoppspalting. Husker jeg helt feil, eller har denne vært oppe her før?

EDIT: Whoops, jeg leste visst n-tederiverte.

Stemmer, men den ble aldri løst.