matematikk.net

Ikke særlig vanskelig, men men:

Vis at:

[tex](1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(n)(n!)=(n+1)!-1\ \ \ \ \forall n\in \mathbb{Z}^+[/tex]

Hypotesen:
[tex](1)(1!) + \dots + (n+1)(n+1)! = (n+2)! - 1[/tex]

Vi sjekker at det stemmer for noen verdier:
n=1
[tex](1)(1!) = 1[/tex]
[tex](2!)-1 = 1[/tex]

n=2
[tex](1)(1!) + (2)(2!) = 1 + 4 = 5[/tex]
[tex](3!)-1 = 5[/tex]

Vi antar derfor det stemmer for n tall:
[tex](1)(1!) + (2)(2!) + \dots + (n)(n!) = (n+1)! - 1[/tex]

Vi sjekker nå om det stemmer for n+1.
[tex](1)(1!) + (2)(2!) + \dots + (n)(n!) + (n+1)(n+1)![/tex]

Ved induksjonshypotesen er dette det samme som:
[tex](n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)![/tex]

[tex](n+1)! - 1 + n(n+1)! + (n+1)![/tex]

[tex]n(n+1)! + 2(n+1)! -1[/tex]

[tex](n+1)!(n+2) - 1[/tex]

[tex](n+2)! - 1[/tex]

Og vips, QED.

Alternativt, men mer eller mindre tilsvarende:

Skriv [tex]i \cdot i! = (i+1)! - i![/tex], stryk like ledd mot hverandre og stå igjen med høyresiden.

Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Likte den Karl_Erik . Men beviser man det ikke bare for i og ikke alle positive hele tall?

Her er altså bevise mitt(tar ikke med basecase)

Hypotesen:
[tex]\sum_{n=1}^{n} nn! = (n+1)!-1[/tex]

for n+1:

[tex]\sum_{n=1}^{n+1} (n+1)(n+1)! = \sum_{n=1}^{n} nn! + (n+1)(n+1)![/tex]

[tex]= (n+1)!-1+(n+1)(n+1)![/tex]
[tex]= (n+1)!+(n+1)!(n+1)-1[/tex]
[tex]= (n+1)!(1+(n+1))-1[/tex]
[tex]= (n+1)!((n+1)+1)-1[/tex]
[tex]= ((n+1)+1)!-1[/tex]

chrypton1 wrote:Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Det er jo helt samme fremgangsmåte da, selv om det ikke er i overensstemmelse med den gitte hypotesen.

Fikk illustrert idéen, selv om det ikke er sånn jeg hadde ført oppgaven på en eksamen.

Markonan wrote:

chrypton1 wrote:Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Det er jo helt samme fremgangsmåte da, selv om det ikke er i overensstemmelse med den gitte hypotesen.

Fikk illustrert idéen, selv om det ikke er sånn jeg hadde ført oppgaven på en eksamen.

skjønner.