matematikk.net

Gitt de reelle tallene

[tex]0=x_1<x_2<...<x_{2n+1}=1[/tex], hvor [tex]x_{i+1} -x_i \leq h[/tex],

vis at

[tex]\frac{1-h}{2}<\sum^n_{i=1}x_{2i}(x_{2i+1}-x_{2i-1})<\frac{1+h}{2}[/tex].

Geometrisk løsning:



Illustrasjonen viser tilfellet n=3, men prinsippet gjelder generelt. Tanken er å se på summen i oppgaven som sum av arealer (lik de gråbrune feltene). For å maksimere summen lar vi avstandene [tex] x_{2k+1}-x_{2k}[/tex] gå mot 0 slik at vi får en situasjon som på figuren til høyre.

Da vi summen nødvendigvis være mindre enn arealet av halve kvadratet pluss de lyseblå feltene. Sidelengdene i det største av de mindre kvadratene er mindre enn eller lik h. Av figuren ser vi at maksimalt lyseblått areal dermed er mindre enn [tex]\frac{h}{2}[/tex]. Dermed er summen mindre enn [tex]\frac{1+h}{2}[/tex].


For å minimere summen lar vi avstandene [tex]x_{2k}-x_{2k-1}[/tex] gå mot 0 og vi får at summen alltid vil være større enn [tex]\frac{1-h}{2}[/tex]

Jeg er ikke helt sikker på om at jeg forstår helt, hva mener du f.eks med at differansen [tex]x_{2k+1}-x_{2k}[/tex] går mot [tex]0[/tex]? Vi har jo nødvendigvis at [tex]x_{2n+1}=1[/tex], så hvis alle differansene går mot 0 vil jo det ikke kunne stemme.