matematikk.net

Har jobbet med en oppgave med induksjonsbevis og kommet frem til en bevis jeg mener stemmer, men lurer på om noen kan se over og se om det faktisk er vanntett som jeg trodde. Eller er det noe feil i tankegangen?

Skal bevise at ulikheten er sann for alle n>5
[tex]2^n > n^2[/tex]

Tester først for 5, og bruker det som startpunkt
[tex]2^5 > n^5[/tex]
[tex]32 > 25[/tex]

Vi ser at dette stemme, og bruker dette til å vise at om n er sant er n+1 sant.
[tex]2^{n+1} > (n+1)^2[/tex]
[tex]2^{n}* 2 > n^2 +2n +1[/tex]

Vi vet av forusetningen vår at 2[sup]n[/sup] > n[sup]2[/sup], bytter derfor ut på venstre side av ulikheten. Delet etterpå på n på begge sider.
[tex]2n > n +2 +\frac{1}{n}[/tex]

vi vet at siden at i hvertfall er større enn 4, derfor er [tex]\frac{1}{n}<1[/tex] Noe som og betyr at [tex]2+ \frac{1}{n}<3[/tex]
[tex]2n > n +3[/tex]

Vi vet av forusetning igjen at n >4, derfor må ulikheten stemme. Dermed er det og bevist for alle n>5

Tankegangen din er helt riktig, men beviset ser mye ryddigere ut om du skriver det 'andre veien' - det vil si at du tar utgangspunkt i det du vet, og jobber deg fram til det du vil vise, i stedet for å begynne med det du vil vise. Det du har ment er at "For å vise dette holder det å vise dette" og så videre, men for en sliten sensor kan det fort se ut som du ikke har helt stålkontroll på logikken. Derfor hadde du sikret deg om etter å ha testet tilfellet [tex]n=5[/tex] hadde gjort noe sånt som dette:

"Siden [tex]n>5[/tex] vet vi at [tex]2n>n+3[/tex]. Dessuten er [tex]3>2+\frac 1 n[/tex], så [tex]2n>n+3>n+2+\frac 1 n[/tex]. Ganger vi begge sider med [tex]n[/tex] får vi at [tex]2n^2 > n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex]. Av induksjonshypotesen vet vi at [tex]2^n > n^2[/tex], så vi har at [tex]2^{n+1}= 2 \cdot 2^n > 2n^2 > (n+1)^2[/tex], og vi er ferdige."

Men ja, tankegangen din er helt riktig.