matematikk.net

For [tex]a\in \mathbb{N}[/tex], bevis at [tex]\frac{a^3+2a}{a^4+3a^2+1}[/tex] er en brøk som er fullstendig forkortet.

Min løsning:




Vi må vise at det ikke finnes noen [tex]k,T^\prime,N^\prime \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\frac TN = \frac{kT^\prime}{kN^\prime} = \frac {T^\prime}{N^\prime}[/tex].

[tex]T = a^3+2a = a(a^2+2)[/tex], som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a[/tex] eller [tex](a+2)[/tex].

[tex]N = a^4 + 3a^2 + 1[/tex] kan ikke faktoriseres, som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a^4 + 3a^2 + 1[/tex].

Men vi ser at verken [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a[/tex] eller [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a^2+2[/tex] gir løsninger i [tex]\mathbb{N}[/tex], så det finnes ingen slik [tex]k[/tex]. Brøken er fullstendig forkortet.

Det følger fra identiteten [tex](a^2+1)(a^4+3a^2+1)-(a^3+2)(a^3+2)=1[/tex] som man kan finne for eksempel ved hjelp av Euklids algoritme.

Jeg trur ikke den forrige løsninga holder: a(a^2+2) kan godt ha andre faktorer enn a og a^2+2.