matematikk.net

La [tex]a, b, c[/tex] være sidene i en trekant, og la [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] være vinklene overfor henholdsvis [tex]a, b[/tex]og [tex]c[/tex].

Vis at [tex]\frac {\alpha a^2 + \beta b^2 + \gamma c^2} {a^2 + b^2 + c^2} \geq \frac {\pi} 3[/tex]

Hint: I en trekant står den største vinkelen overfor den største siden, så følgene a,b,c og alfa, beta, gamma er likt ordnet, som minner veldig om betingelsene i en kjent ulikhet.

Siden den største vinkelen tilhører den største siden og omvendt, kan vi bruke chebychev:

[tex]\frac{\sum a^2\alpha}{\sum a^2} \geq \frac{\frac{\sum a^2 \sum \alpha}{3}}{\sum a^2}=\frac{\pi}{3}[/tex]