matematikk.net

Hei!

Jeg ønsker å vise at uttrykket n[sup]2[/sup]+3n+1 = 1, 5 eller 9 modulo 10.

Problemet er at det er flere år siden sist jeg holdt på med moduloregning, så jeg husker ikke hvordan jeg gjør dette.

Kanskje finnes det en enklere måte å løse problemet mitt på også. Jeg ønsker generelt å vise at dette uttrykket må ende på enten sifferet 1, 5 eller 9. Å vise dette ved hjelp av modulo virker mest logisk på meg, men kan godt være det finnes andre metoder som er vel så bra.

At [tex]n^2+3n+1[/tex] er lik 1, 5 eller 9 modulo 10 er det samme som at [tex]n^2+3n=n(n+3)[/tex] er lik 0, 4 eller 8 modulo 10.

Siden du vet at de siste sifrene i to tall som ganges sammen "er skyld i" siste siffer i produktet, kan man bruke "liksom-brute-force" og gange sammen de 10 mulige produktene modulo 10 av formen n(n+3):

0*3=0
1*4=4
2*5=0
3*6=8
4*7=0
5*8=0
etc

(mod 10)

Takk for svar. Sliter likevel med å vise at dette gjelder generelt for alle n. Mulig det er noe jeg ikke ser, men med din framgangsmåte må man fortsatt anta at denne utviklingen fortsetter uten at man egentlig har bevist det.

Jeg har egentlig allerede vist omtrent det tilsvarende, men problemet mitt er å finne et formelt "bevis" for at dette gjelder for absolutt alle n.

Framgangsmåten til FredrikM er fin den. Du vet at n er kongruent til enten 0, 1, 2, 3 ... eller 9 modulo 10. Du vet også at dersom [tex]a \equiv c[/tex] og [tex]b \equiv d[/tex] er [tex]ab \equiv cd[/tex], så n(n+3) må nødvendigvis være kongruent med en av 0*3, 1*4, 2*5 ... 9*2, som vi jo ser alle er enten 0, 4 eller 8 modulo 10.

Ahh. Takk! Endelig gikk det opp et lys for meg.