matematikk.net

Tre primtall er slik at summen av primtallene er en faktor i produktet av de samme primtallene.

Hva kan vi si om de tre primtallene? Begrunn.

La [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] og [tex]r[/tex] være de tre primtallene. Skal [tex]p+q+r[/tex] være faktor i [tex]pqr[/tex], må

[tex]p + q + r \in \{1,\, p,\, q,\, r,\, pq,\, pr,\, qr,\, pqr\}.[/tex]

Nå er

[tex]\max \{1,\, p,\, q,\, r\} \; < \; p + q + r \; < \; pqr,[/tex]

hvilket betyr at

[tex]p + q + r \in \{pq,\, pr, \, qr\}.[/tex]

Symmetri gir at sammenhengen mellom de tre primtallene kan uttrykkes ved identiteten

[tex]p + q + r \: = \: pq, [/tex]

dvs. at

[tex]r \:=\: pq \,-\, p \,-\, q.[/tex]

når du sier [tex]p+q+r\in\{pq,pr,qr\}[/tex], utelukker du da at f. eks. [tex]p+q=r[/tex] er mulig?

espen180 wrote:når du sier [tex]p+q+r\in\{pq,pr,qr\}[/tex], utelukker du da at f. eks. [tex]p+q=r[/tex] er mulig?

Han gjør ikke det. Du kan se at løsningssettet til p+q=r er inkludert i løsningssettet han kom fram til. Men det er ekstremt mange løsninger, muligens uendelig mange.

Charlatan wrote:Men det er ekstremt mange løsninger, muligens uendelig mange.

Å bevise at det ikke er det vil faktisk motbevise twin prime conjecture; sett p=2.

mrcreosote wrote:

Charlatan wrote:Men det er ekstremt mange løsninger, muligens uendelig mange.

Å bevise at det ikke er det vil faktisk motbevise twin prime conjecture; sett p=2.

Jepp, for at p+q=r i det hele tatt er det nødvendig at p eller q er 2. Vi har i alle fall minst èn løsning for ethvert primtallspar.

Ja, det var primtallpar jeg hadde i tankene da jeg skrev oppgaven.