matematikk.net

Bevis at [tex]S_n = \frac 1{2!} + \frac 1{3!} + \frac 1{4!} + \ldots + \frac 1{n!}[/tex] konvergerer.

For tilstrekkelig store n (som her vil si n>3) er leddene i [tex]S_n[/tex] mindre enn leddene i [tex]R_n= \frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} \ldots [/tex], som er en kjent konvergent rekke. (Om dette ikke regnes som kjent - bruk ulikheten [tex]\frac 1 {k^2} < \frac 1 {k(k-1)} = \frac 1 {k-1} - \frac 1 k[/tex].)

Har ikke mye erfaring med slike bevis, men gjør et forsøk.

Følgen som det er snakk om her er [tex]a_n=\frac{1}{(n+1)!}[/tex].

Vi merker oss følgen [tex]b_n=\frac{1}{2^n}[/tex]. Summen av denne konvergerer mot 1.

Vi merker oss også at for alle [tex]n\geq2[/tex] er [tex](n+1)!\geq 2^n[/tex]. Følgelig er [tex]\frac{1}{(n+1)!}\leq \frac{1}{2^n}[/tex] for alle [tex]n\geq 2[/tex] som igjen betyr at [tex]a_n\leq b_n[/tex].

Siden summen av alle [tex]b_n[/tex] konvergerer, må også summen av alle [tex]a_n[/tex] konvergere og være mindre enn 1.

Har som sagt ikke mye erfaring med slike bevis, men det ser ut til å holde mål...

Summen av denne konvergerer mot 1.

Om vi starter med n=0 (som er vanlig), konvergerer den mot 2.

For dem som tviler på at dette er tilfellet, har jeg et bevis her:
http://fredrikmeyer.net/div/geomsum.pdf

Hoppsann! Jeg mente så klart [tex]S_n = \frac 2{2!} + \frac 3{3!} + \frac 4{4!} + \ldots + \frac n{n!}[/tex]. (Jeg ser at det nte leddet blir 1/(n-1)! uansett, så det har ingenting å si.)