matematikk.net

1) Vis at [tex]\int^b_a f(x)g(x) \rm{d}x=\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^k[f_{k+1} g_k(x)]^b_a[/tex]

dersom [tex]f_{n+1}g_n(x)[/tex] konvergerer uniformt mot 0 på [tex][a,b][/tex] hvor [tex]f_k[/tex] er en antiderivert av [tex]f_{k-1}[/tex], og [tex]f_0=f[/tex]; og [tex]g_k[/tex] er den k'te deriverte av [tex]g=g_0[/tex]. f og g er kontinuerlige funksjoner på [tex][a,b][/tex], og g er n'te deriverbar for enhver n på samme intervall.

( [tex]h_n(x)[/tex] konvergerer uniformt mot [tex]h(x)[/tex] på [tex][a,b] \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \sup \{ |h(x)-h_n(x)| : x \in [a,b] \}=0[/tex] ( [tex]h_n(x)[/tex] og [tex]h(x)[/tex] er kontinuerlige funksjoner på [tex][a,b][/tex] for alle n))

2) Bruk dette til å finne taylorrekka til [tex]e^x[/tex].

Ingen som har svart på denne ennå, så jeg prøver meg..

1) Delvis integrasjon gjentatte ganger skulle gi formelen

[tex]\int_a^bfg\,dx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k[f_{k+1}g_k]_a^b+ \lim_{n\to\infty}(-1)^n\int_a^b f_ng_n\,dx[/tex]

Siden følgen [tex]f_ng_n[/tex] konvergerer uniformt mot 0 kan vi bytte om grensen og integralet, så

[tex]\lim_{n\to \infty} (-1)^n\int_a^b f_ng_n\,dx=\int_a^b \lim_{n\to\infty}(-1)^n\cdot 0\,dx=0[/tex]

2)

Sett [tex]f=1[/tex] og [tex]g=e^{-x}[/tex]

Da blir

[tex]f_{k+1}=\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}[/tex] og [tex]g_k=(-1)^ke^{-x}[/tex].

Observerer at disse valgene av funksjoner tilfredsstiller kravene i formelen.

Vi integrerer fra 0 til y og får

[tex]-e^{-y}+1=[-e^{-x}]_0^y=\int_0^y e^{-x}\,dx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k[\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}(-1)^ke^{-x}]_0^y=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^{k+1}}{(k+1)!}e^{-y}=e^{-y}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{y^{k}}{k!}[/tex]

Ganger vi med [tex]e^y[/tex] på begge sider får vi

[tex]-1+e^y=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{y^{k}}{k!}[/tex]

Legger til 1 på begge sider og får

[tex]e^y=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^{k}}{k!}[/tex]

plutarco wrote:Ingen som har svart på denne ennå, så jeg prøver meg..

Her er jeg usikker, men dersom følgen [tex]f_ng_n[/tex] konvergerer uniformt mot 0 vil iallfall integralet gå mot 0... (men du mener altså [tex]f_{n+1}g_n[/tex] her? )

Fint du la merke til det, det skal være [tex]f_ng_n[/tex] som konvergerer uniformt mot 0 ja. Da vil integralet gå mot 0 som kan begrunnes med et kjent teorem.