matematikk.net

Vi har en reell følge [tex](x_n)[/tex] slik at

[tex]\lim_{n \to \infty} (x_n-x_{n-2})=0[/tex]

Vis at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{n}=0[/tex]

Kan hende jeg oversimplifiserer, men siden [tex]\infty\not\in\mathbb{R}[/tex], må [tex]a_n-a_{n-1}<\infty[/tex] og da går det vel av seg selv, ettersom [tex]\frac{a}{\infty}=0[/tex]?

[tex]b_n < \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} b_n < \infty[/tex] gjelder nok ikke. Bare se på [tex]b_n=n[/tex].

[tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\frac{x_n-x_{n-2}-x_{n-1}+x_{n-2}}{n}[/tex]

så

[tex]2\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-2}}{n}=0[/tex]

plutarco wrote:[tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\frac{x_n-x_{n-2}-x_{n-1}+x_{n-2}}{n}[/tex]

så

[tex]2\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-2}}{n}=0[/tex]

Hmm, jeg ser ikke helt hvordan andre linje følger fra første. Kanskje er det riktig, kunne du utdype?

Charlatan wrote:

plutarco wrote:[tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\frac{x_n-x_{n-2}-x_{n-1}+x_{n-2}}{n}[/tex]

så

[tex]2\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-2}}{n}=0[/tex]

Hmm, jeg ser ikke helt hvordan andre linje følger fra første. Kanskje det er riktig, kunne du utdype?

Tja, mulig det ikke stemmer helt. Det føltes litt tvilsomt ved nærmere ettersyn.

La [tex]b_n=(-1)^n(x_n-x_{n-1})[/tex]. Da oversettes betingelsen til [tex]\lim (b_n-b_{n-1})=0[/tex], slik at for alle epsilon>0 kan vi finne en N slik at [tex]|b_n-b_{n-1}|<\epsilon[/tex] for n>N.

Gitt epsilon er for tilstrekkelig store n [tex]|b_n|=|b_n-b_{n-1}+b_{n-1}-b_{n-2}+b_{n-2}-\dots+b_{N+1}-b_N+b_N| \\ \le|b_n-b_{n-1}|+|b_{n-1}-b_{n-2}|+\dots+|b_{N+1}-b_N|+|b_N|<(n-N)\epsilon+|b_N|[/tex].

Deler vi på n og tar grensa får vi [tex]\lim\frac{|x_n-x_{n-1}|}n=\lim\frac{|b_n|}n<\epsilon[/tex] og påstanden følger.

Ah, smart å velge en slik b_n ja.

Stemmer, har du en oppfølger?

Holder påstanden hvis vi erstatter nevneren i grenseverdien vi skal vise med log(n)? Hva med n^p for p<1?

La [tex]x_n=(-1)^n\sum^n_{k=1} k^s[/tex] for [tex]s[/tex] slik at [tex]0<s<1[/tex].

Da er [tex]x_n-x_{n-2}= (-1)^n \left( n^s+(n-1)^s\right)[/tex] som åpenbart konvergerer mot 0.

Vi har at [tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}=(-1)^n\left(\frac{2\sum^{n-1}_{k=1} k^s}{n^p}+ n^{s-p}\right)[/tex]

[tex]\sum^{n-1}_{k=1} k^s>\int ^{n-1}_1 x^s \rm{d}x=\frac{(n-1)^{s+1}-1}{s+1}[/tex]

Så [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|>2\frac{(n-1)^{s-p+1}}{s+1}+ n^{s-p}-\frac{2}{(s+1)n^p}[/tex]

Siden [tex]0<p<1[/tex], har vi at [tex]\lim_{n \to \infty}|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|=\frac{2}{s+1}\lim_{n \to \infty}(n-1)^{s-p+1}+\lim_{n \to \infty}n^{s-p}[/tex]

Velger vi [tex]s=\frac{p+1}{2}[/tex], vil [tex]s-p+1=\frac{3-p}{2}>1[/tex]; og [tex]s-p=\frac{1-p}{2}>0[/tex], så grenseverdien vil divergere.

Siden [tex]\log n[/tex] vokser fundamentalt saktere enn [tex]n^p[/tex], vil også [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{\log n}|[/tex] divergere. (Sammenlikningstest)

Virker bra. Et par mindre trykkfeil som ikke har noe å si for resultatet, skal være 2 i en nevner og den første grenseverdien skal være større enn det som følger. Men tankegangen er rett, og det er det viktigste.

Jeg innså nå at løsningen over er helt feil. [tex]x_n-x_{n-2}[/tex] konvergerer åpenbart ikke mot 0.

Her er en ny og mye enklere:
La [tex]x_n=(-1)^n n^s[/tex] hvor s er et rasjonalt tall mellom 0 og 1.
Da er [tex]x_{n}-x_{n-2}=(-1)^n (n^s-(n-2)^s)[/tex] som konvergerer mot 0. Det kan ses fra binomialekspansjonene.

Men [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n}|=n^{s-p}+\frac{(n-1)^s}{n^p}>n^{s-p}[/tex]. Velger vi et rasjonalt tall s mellom [tex]\frac{p+1}{2}[/tex] og 1 får vi at grenseverdien divergerer.

Fant et bevis for at [tex]n^s-(n-2)^s[/tex] konvergerer mot 0 som trengs i beviset ovenfor. Dette gjelder forresten like godt for alle konstanter, ikke bare -2.

La [tex]s=\frac{p}{q}[/tex] hvor [tex]0<s<1[/tex]. Da er

[tex]n^s-(n-2)^s=n^{\frac{p}{q}}-(n-2)^{\frac{p}{q}}=\frac{n^p-(n-2)^p}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}}=\frac{\sum^p_{i=1}{p \choose i}(-2)^{i+1}n^{p-i}}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}} \\ =\frac{O(n^{p-1})}{O\left( n^{\frac{p(q-1)}{q}} \right)}=O \left( n^{p-1-\frac{p(q-1)}{q}}\right)=O(n^{\frac{p}{q}-1}) \to 0[/tex]

med litt uformell bruk av O-notasjon.