matematikk.net

La [tex]f : [0,\infty) \to \mathbb{R}^+[/tex] være en kontinuerlig funksjon.

Bevis (eller motbevis) begge veier av pila:

[tex]\int^{\infty}_0 f(x) \rm{d}x<\infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} f(x) = 0[/tex]

Hva med:

[tex]\int^{\infty}_0 f(x) \rm{d}x<\infty \Leftrightarrow f[/tex] er begrenset

?

Blæh. Oppgaveteksten ble forandret mens jeg skrev. Har ihvertfall et moteksempel for første oppgave. [tex]f(x)=\frac 1{1+x}[/tex]. Denne går mot null når [tex]x\to \infty[/tex], men integralet divergerer.

For andre oppgave, er ihvertfall [tex]f(x)=\frac{1}{1+x}[/tex] et moteksempel mot påstanden [tex]\text{f er begrenset} \Rightarrow \int_0^\infty f(x) dx < \infty[/tex]

Nå gjenstår bare siste implikasjonspil. Litt tanke sier meg at det er det samme som å vise at [tex]\text{f begrenset} \Rightarrow \text{f^, begrenset}[/tex]. Jeg er litt for trøtt til å finne på noe bevis til denne påstanden nå, men jeg tror kanskje man kan bruke middelverdisetningen.

Stemmer det ja. Du har vist at venstre implikasjonspil ikke stemmer på hverken den øverste eller den nederste. Så er det de to høyrepilene igjen (som er de mest interessante!).

Hvis [tex]\lim_{x\to\infty} f(x)=k>0[/tex] vil |[tex]f(x)-k|<\frac{k}{2}[/tex] for alle x>K (per def), så [tex]\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx>\int_{K}^{\infty}f(x)\,dx>\int_K^{\infty}\frac{k}{2}\,dx=\frac{k}{2}\int_K^\infty\,dx=\infty[/tex]

Edit: retta opp ulikhetstegnet

Men hva om grenseverdien ikke eksisterer?

Charlatan wrote:Men hva om grenseverdien ikke eksisterer?

Ja, det er et poeng

Hvis vi f.eks. syr sammen funksjonen [tex]g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}[/tex] med deler (som ligger over g(x)) av trekanter som er definert f.eks. med hjørner i koordinatene [tex](n,0)[/tex] , [tex](n+\frac{1}{n^2},0)[/tex] og [tex](n+\frac{1}{2n^2},1)[/tex] for alle heltall n, slik at vi får en kontinuerlig funksjon, så blir

[tex]\int_0^\infty f(x)\,dx<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^2}+\int_0^\infty\frac{1}{(x+1)^2}\,dx<\infty[/tex]

mens [tex]\lim\, \sup\, f(x)=1\neq \lim\, \inf \,f(x)=0[/tex] så [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)[/tex] eksisterer ikke.


Ideen på den nedre er i prinsippet det samme, bare at vi lager oss nye trekanter som vokser i høyden. La disse ha koordinater

[tex](n,0),(n+\frac{1}{n^3},0)[/tex] og [tex](n+\frac{1}{2n^3},n)[/tex] slik at arealene til disse blir

[tex]\frac{1}{2n^3}\cdot n=\frac{1}{2n^2}[/tex].

Syr vi sammen på analog måte som i første oppgave blir f kontinuerlig og ubegrenset mens integralet er endelig.

Jepp, det er riktig.

Oppfølger:
For den samme f, vis at
[tex]\lim_{x \to \infty } f(x)[/tex] eksisterer [tex]\Rightarrow f[/tex] er begrenset.

Charlatan wrote:Jepp, det er riktig.

Oppfølger:
For den samme f, vis at
[tex]\lim_{x \to \infty } f(x)[/tex] eksisterer [tex]\Rightarrow f[/tex] er begrenset.

f(x) er nedad begrenset av 0.

La [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=k<\infty[/tex]. Da fins det en S slik at for alle x>S er f(x)<1+k, så f(x) er oppad begrenset på (S, [symbol:uendelig]).

Siden [0,S] er kompakt og vi vet at kontinuerlige bilder av kompakte mengder er kompakt (kompakt er ekvivalent med lukket og begrenset i R), så er f([0,S]) begrenset, så f(x) er begrenset på både [0,S] og (S, [symbol:uendelig])