matematikk.net

Vi knekker en rett pinne med lengde [tex]l[/tex] i to tilfeldige punkter. Anta at pinnen har lengde, men ingen radius. Alle knekkpunkter er like sannsynlige.

Hva er sannsynligheten for at vi kan lage en trekant av de tre delene vi får?

Er dette enda en av disse geometriske sannsynlighetsoppgavene som er tvetydige?

Hvordan er denne oppgaven tvetydig?

Vel, da gjetter jeg på at det blir:

[tex]\int_{0}^{0.5}2x(1-x)\,dx=2[0.5x^2-1/3x^3]=\frac16[/tex]

Jeg syns det er ei veldefinert oppgave, artig er den også. Med fare for å plumpe antar jeg det menes at man knekker pinnen i x og y der x og y er uavhengige variable fordelt uniformt på [0,l].

Vi kan rolig la l=1, og vi kan også anta at x er uniformt fordelt på [0,1/2]. (Hvis x havner i [1/2,1], flipp situasjonen.) At vi ikke kan danne en trekant er ekvivalent til at en av bitene har lengde større enn 1/2 (eller minst 1/2 om du vil, dette har ingen betydning for utregninga) som igjen er ekvivalent til at 1-y>1/2 eller y-x>1/2. Det første skjer med sannsynlighet 1/2, det andre med sannsynlighet 1/2*(0+1/2)=1/4. Siden disse begivenhetene ikke kan opptre samtidig, er sannsynligheta for at vi kan danne en trekant 1-(1/2+1/4)=1/4.

1/4 skal være rett.

En alternativ fremgangsmåte er å fremstille sannsynligheten som en reagion av et plan. Hvis vi tar planet [tex]x+y+z=l\,,\, x,y,z\in[0,l][/tex] og Tar området der [tex]x\leq \frac{l}{2} \,\wedge\, y\leq \frac{l}{2} \,\wedge\, z\leq\frac{l}{2}[/tex] sitter man igjen med [tex]\frac14[/tex] av arealet (planet i første oktant deles inn i 4 kongruente likesidete trekanter, hvor den i sentrum (1 av 4) representerer verdiene for x, y og z som tilfredsstiller trekantkravet).

Vi holdt visst på med noe lignende for 371 dager siden: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=20638

plutarco wrote:Er dette enda en av disse geometriske sannsynlighetsoppgavene som er tvetydige?

Den kunne, om jeg ikke husker helt feil, vært tvetydig om man istedetfor "brukket den i to uniformt fordelte punkter" hadde sagt "brukket den i tre biter på tilfeldig måte". Da hadde den alternative tolkningen av dette som "brekk pinnen i et uniformt fordelt punkt, velg en av de to bitene med lik sannsynlighet og brekk denne i et uniformt fordelt punkt" ført til et annet svar - igjen om jeg husker riktig.

Hm, jeg trur jeg må sette meg ned å studere dette med geometriske sannsynligheter litt mer nøye gitt.