matematikk.net

Hjernen min står helt stille på følgende ligning:

8(sin(x))^2*(cos(x))^2=1

Jeg forstår såpass at vi kan sette 1 = (sin(x))^2 + (cos(x))^2

Men da blir man stående igjen med én ligning med to ukjente. Hm.

Er dette ligningen din?
[tex]8\sin^2 x \cos^2 x=1[/tex]?

I så fall: bruk at [tex]\cos^2 x=1-\sin^2 x[/tex] og du får en andregradsligning som kan løses for sin.

Eller alternativt:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=23768
------------------------------------------------------------------------------------
[tex]sin(2x)=2\cdot sin(x)\cdot cos(x)[/tex]

Da blir [tex]sin(x)\cdot cos(x)=\frac {sin(2x)}{2}[/tex]

Da blir følgelig [tex]sin^2(x)\cdot cos^2(x)=\frac {sin(2x)}{2}\cdot \frac {sin(2x)}{2}=\frac {\left (sin(2x)\right )^2}{4}[/tex]

[tex]8 \cdot \frac {\left (sin(2x)\right )^2}{4}=1[/tex]

[tex]2 \cdot \left (sin(2x)\right )^2=1[/tex]

Uff, så enkelt var det ja.

Ok, dette blir for gale.

[tex]8\sin^2 x \cos^2 x=1,\,sin^2x = u[/tex]
[tex]8u(1-u)=1[/tex]
[tex]sinx=sqrt(u)= ca. 1,1>1[/tex]

Ingen løsning? ..

Dette selv om jeg kan regne det ut med alternative metoder. Huff.

Andregradsligningen du får er [tex]8u^2-8u-1=0[/tex]. Iflg kalkulatoren min er løsningene [tex]x \approx 0.85, 0.15[/tex]

Neida, har løsninger denne.

[tex]8\cdot sin^2(x)\cdot cos^2(x)=1[/tex]

[tex]8\cdot sin^2(x)\cdot (1-sin^2(x)=1[/tex]

[tex]u=sin^2(x)[/tex]

[tex]-8u^2+8u-1=0[/tex]

Bruker abc-formelen

[tex]u=\frac{sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2} \ \vee \ u=\frac{1}{2}-\frac{sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]sin^2(x)=\frac{sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2} \ \vee \ sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{sqrt{2}}{4}[/tex]

Men den alternative metoden som jeg nevnte er mye penere, ettersom du får eksakte løsninger:

[tex]8 \cdot \frac {\left (sin(2x)\right )^2}{4}=1[/tex]

[tex]2 \cdot \left (sin(2x)\right )^2=1[/tex]

[tex]sin(2x)=\pm sqrt{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]sin(2x)=\pm \frac{1}{sqrt{2}[/tex]

Og [tex]\frac{1}{sqrt{2}[/tex] er en eksakt trigonometrisk verdi.


[tex]2x=\frac{\pi}{4}+n2\pi \ \ \vee \ \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+n2\pi[/tex]

eller

[tex]2x=-\frac{\pi}{4}+n2\pi \ \ \vee \ \ 2x=\pi+\frac{\pi}{4}+n2\pi[/tex]

Da har vi at:

[tex]x=\frac{\pi}{8}+n\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{3\pi}{8}+n\pi[/tex]

eller

[tex]x=-\frac{\pi}{8}+n\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{5\pi}{8}+n\pi[/tex]

Antar at [tex]x \in [0,2\pi][/tex]

Dette gir løsningene:

[tex]x=\frac{\pi}{8}, x=\frac{3\pi}{8}, x=\frac{5\pi}{8}, x=\frac{7\pi}{8}, x=\frac{9\pi}{8}, x=\frac{13\pi}{8}, x=\frac{11\pi}{8}, \ og \ x=\frac{15\pi}{8}[/tex]

Yep, yep. Det er helt likt det jeg fikk selv. Må være jeg som tuller med kalkulatoren da. Takk for hjelp