Page 1 of 1
Finn øvre grense eller Finn asymptote
Posted: 06/10-2009 23:54
by Itchy
Fant denne oppgaven i en gammel midtveiseksamen.
Når x --> [symbol:uendelig] har [tex]f(x) = sqrt{x^2 + 3x}[/tex]
1: y = x + 3/2
2: y = x
3: y = 3x
4: Det finnes ingen asymptote
5: y = x - 1
Jeg satt uendelig inn for x, og da blir den [tex]sqrt{inf}[/tex]. Kvadratroten av en varibel som går mot uendelig blir vel uendelig?
TAGS: øvre, grense, asymptot
TEX systemet liker ikke symbolene.
Posted: 06/10-2009 23:58
by FredrikM
Ja, kvadratrotuttrykket går mot uendelig, men det er ikke det det spørres om.
Du blir spurt om å finne en asymptote til funksjonen. En funksjon går mot en asymptote når den når x -> [symbol:uendelig] begynner å ligne på en lineær funksjon. Du skal finne denne lineære funksjonen.
(slå opp på "asymptote" i Kalkulus, så finner du også ut hvordan du gjør dette - det er veldig godt forklart der)
Posted: 07/10-2009 11:31
by edahl
Det er som FredrikM sier, men hvis du vil ha kortversjonen deler du funksjonen på x og tar grensen. Hvis dette er en konstant har du stigningstallet på en linje som 'tangerer' f i det uendelige. Følger intuitivt av at y=f(x). En får altså at stigningstallet er y/x som er hva en forventer bl.a. i derivasjon. Tenk litt på det, så ser du hvorfor det er sånn. Jeg vet ikke om du tar faget nå jeg, men isåfall lykke til på fredag!
Posted: 07/10-2009 15:16
by Gustav
La oss si at funksjonen har en skråasymptote gitt ved ligningen g(x)=ax+b
a er den deriverte til f(x) i grensen når x går mot uendelig;
[tex]f^\prime (x)=0.5\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x}}[/tex] så
[tex]a=\lim_{x\to \infty}f^\prime (x)=\frac{2}{2}=1[/tex]
I tillegg må
[tex]\lim_{x\to\infty} f(x)-(x+b)=0[/tex] som betyr at
[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+3x})+x)(\sqrt{x^2+3x}-x)}{\sqrt{x^2+3x}+x}=b[/tex]
Etter litt omskriving blir uttrykket
[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}=\frac32[/tex]
Konklusjon:
Skråasymptoten har ligningen [tex]g(x)=x+\frac32[/tex]
Posted: 09/10-2009 12:46
by Itchy
edahl wrote:Det er som FredrikM sier, men hvis du vil ha kortversjonen deler du funksjonen på x og tar grensen. Hvis dette er en konstant har du stigningstallet på en linje som 'tangerer' f i det uendelige. Følger intuitivt av at y=f(x). En får altså at stigningstallet er y/x som er hva en forventer bl.a. i derivasjon. Tenk litt på det, så ser du hvorfor det er sånn. Jeg vet ikke om du tar faget nå jeg, men isåfall lykke til på fredag!
Ja, takk skal du ha :).
Men, Plutarco, hvordan bestemmer du hva slags asymptote det er? Skrå, horisontal og vertikal, hvis du får en funksjon, hvordan bestemmer du hvilken type asymptote den har?