matematikk.net

La [tex]C: |z|=2[/tex] være sirkelene om origo med radius 2. Regn ut [tex]\oint_C \frac{e^{-z}}{(z+1)^2} dz[/tex]

Jeg ønsker å få denne om på formen i formelen [tex]\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz=2\pi i f(z_0)[/tex].

Problemet er at f må være analytisk i og på sirkelen, og jeg sliter med å finne en slik f.

Jeg blir glad for hint.

Du har vel her en 2.ordens pol, så du kan jo bruke residueformelen for en slik.

Det er ennå ikke forelest om residue-formelen, så jeg tenkte denne oppgaven kunne løses på en annen måte. Kan selvsagt lese om formelen og løse det på den måten...

Så du skal ikke bruke Cauchys integral formel? http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s ... al_formula

Jo, det bør være den det er meningen jeg skal bruke (oppgaven er i kapittelet om nettopp den formelen)

Hva med å skrive [tex]e^{-z} = e^{-(z+1)+1}[/tex] ?

Jeg vet ikke om jeg skjønner hvor du vil, men det naturlige her er å bruke at

[tex]f^,(-1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=2}\frac{f(z)}{(z+1)^2}\,dz[/tex]

*dunke seg i hodet*

Jeg var fastlåst på at jeg kun skulle bruke [tex]f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz[/tex], men så har vi jo også - som du sier - den generelle Cauchy-formelen:
[tex]f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz[/tex]

...

Da blir det piece of cake.

Nettopp:)