matematikk.net

For hvilke odde n er [tex]\frac{4^n+1}{5}[/tex] et sammensatt tall? Bevis.

Først og fremst er dette uttrykket alltid heltallig for odde n:

[tex]4 \equiv (-1) (mod 5)[/tex]

[tex]4^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1} \equiv (-1) (mod 5) \Rightarrow 4^{2k+1} + 1 \equiv 0 mod 5[/tex]

Faktoriserer telleren:

[tex]4^n + 1 = 2^{2n} + 1 = 2^{2n} + 2 \cdot 2^n + 1 - 2 \cdot 2^n = (2^n + 1)^2 - 2^{n+1}[/tex]

n er odd, så n = 2k+1 for et tall k

[tex](2^{2k+1} + 1)^2 - 2^{2k+2} = (2^{2k+1} + 1)^2 - (2^{k+1})^2 = (2^{2k+1} + 1 - 2^{k+1})(2^{2k+1} + 1 + 2^{k+1})[/tex]

For odde n kan vi altså alltid faktorisere telleren til to heltallige faktorer. Fra før vet vi at en av disse må være delelige på 5 for en hver odd n. For k = 0 og k = 1 blir en av faktorene lik 5. Men for alle høyere verdier av k, må en av faktorene være multipler av 5. Altså må minst en av faktorene være sammensatt. Da vil tallet fortsatt være sammensatt etter divisjon med 5. Uttrykket er altså sammensatt for alle odde n > 3.

Tror det skulle være riktig det du sier ja.