matematikk.net

Vis at [tex]sin(\frac {1\pi} 7) sin(\frac {2\pi} 7) sin(\frac {3\pi} 7) sin(\frac {4\pi} 7) sin(\frac {5\pi} 7) sin(\frac {6\pi} 7) = \frac 7 {64}[/tex]
der vinkler måles i radianer.

Liten feil antar jeg, den siste faktoren skal neppe med.

Whoops, nei, den skulle ikke vært med. Beklager. Jeg skylder på klokkeslettet. Nå ser det dog ut til at ting stemmer.

Artig oppgave, mener jeg har løste den. Kan forklare litt i raske trekk, har dessverre ikke alt for mye tid nå. Forøvrig er jeg ganske sikker på at den kan løses på en mer elegant måte (og enklere).

Brukte de vanlige trigonometriske identitetene:

[tex]1)\,\,\tan(\pi-x)=-\tan(x)[/tex]

[tex]2)\,\,\sin({\pi\over 2}-x)=\cos(x)[/tex]

[tex]3)\,\,\cos({\pi\over 2}-x)=\sin(x)[/tex]
----------------------------------
jeg fant ut at:
[tex]\,\,\sin({\pi\over 7})\sin({2\pi\over 7})\sin({3\pi\over 7})=\sin({4\pi\over 7})\sin({5\pi\over 7})sin({6\pi\over 7})[/tex]

så brukte jeg relasjonen:

[tex]\frac{sin({\pi\over 7})\sin({2\pi\over 7})\sin({3\pi\over 7})}{cos({\pi\over 7})\cos({2\pi\over 7})\cos({3\pi\over 7})}=\tan({\pi\over 7})\tan({2\pi\over 7})\tan({3\pi\over 7})[/tex]

fant at
[tex]\tan({\pi\over 7})\tan({2\pi\over 7})\tan({3\pi\over 7})=\sqrt7[/tex]
og

[tex]{cos({\pi\over 7})\cos({2\pi\over 7})\cos({3\pi\over 7})}=1/8[/tex]

slik at:

[tex]\sin({\pi\over 7})\sin({2\pi\over 7})\sin({3\pi\over 7})\sin({4\pi\over 7})\sin({5\pi\over 7})sin({6\pi\over 7})={7\over 64}[/tex]

men jeg mangler endel mellomregninger, som får vente...

Dette blir helt sikkert bra når du fyller ut med mellomregningene. En alternativ måte som blir litt hokuspokus om man ikke har sett noe lignende før går på å uttrykke [tex]sin(7\theta)[/tex] som et polynom i [tex]sin(\theta)[/tex] og så legge merke til at uttrykket vi er ute på venstresiden av likhetstegnet ligner veldig på produktet av røttene til polynomet.