matematikk.net

Bevis denne trigonometriske likninga:

[tex]\frac{1}{\cos(0^o)\cos(1^o)}\,+\,\frac{1}{\cos(1^o)\cos(2^o)}\,+\,\frac{1}{\cos(2^o)\cos(3^o)}\,+\,.\,.\,.\,+\,\frac{1}{\cos(88^o)\cos(89^o)}\, =\frac{\cot(1^o)}{\sin(1^o)}[/tex]

(Gjennom nesten hele løsningen kommer jeg til å sløyfe grader-tegnet (dvs [tex] ^{\circ}[/tex]).)

Lemma 1
[tex]\frac 1 {cos(k) cos(k+1)} = \frac {tan(k+1)-tan(k)} {sin(1)}[/tex]

Bevis: [tex]\frac 1 {sin(1)} (tan(k+1)-tan(k)) = \frac 1 {sin(1)cos(k)cos(k+1)} (sin(k+1)cos(k)-sin(k)cos(k+1)) = \frac 1 {sin(1)cos(k)cos(k+1)} (sin(1)) = \frac 1 {cos(k)cos(k+1)}[/tex]



Så ser vi at venstresiden =

[tex]\sum _{k=0} ^{88} \frac 1 {cos(k) cos(k+1)} = \frac 1 {sin(1)} \sum _{k=0} ^{88} tan(k+1)-tan(k) = \frac 1 {sin(1)} (tan(89)-tan(0)) = \frac {tan(89)} {sin(1)} = \frac {cot(1^{\circ})} {sin(1^{\circ})}[/tex]


(På slutten brukte vi at [tex]tan(x)=cot(90^{\circ}-x)[/tex], som følger av at[tex]sin(x)=cos(90^{\circ}-x)[/tex] og [tex]cos(x)=sin(90^{\circ}-x)[/tex].

EDIT: Forøvrig tør jeg gjette på at dette generaliserer fint (dvs at summen kan starte på andre vinkler og ha en annen 'økning').

Fin løsning vha enkle trigonometriske identiteter og teleskoperende rekke.