matematikk.net

[tex]\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}+y=x[/tex] [tex]y(0)=-1[/tex]

Jeg har gjort den om til formen:
[tex]\frac{dy}{dx}+q(x)y=r(x)[/tex]

og brukt formelen:
[tex]y=e^{-\int{q(x)}dx}\left({e^{\int{q(x)}dx}\cdot{r(x)}+C}\right)[/tex]

men får da et helt annet resultat en fasiten, som dessverre mangler utregningen.

Hva er fasiten sitt svar?

Du bruker integrerende faktor på denne som er [tex]I(x) = e^{ \int q(x) dx}[/tex] i følge ditt eksempel...

[tex]\sqrt{1-x^2}y^, + y = x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y(0) = 1[/tex]

[tex]y^, + \frac{y}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

[tex]I(x) = e^{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx} = e^{arcsin(x)}[/tex]

[tex]\int (I(x) \cdot y)^, =\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx[/tex]

[tex]arcsin(x) \cdot y =-\sqrt{1-x^2} + C[/tex]

[tex]y=\frac{-\sqrt{1-x^2} + C}{arcsin(x)}[/tex]

Har ikke fått sett igjennom det du har gjort, men fasitsvaret er:

[tex] y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{1-x^2})-\frac{1}{2}e^{-arcsinx}[/tex]

Ops stor skrivefeil over. Riktig formel.

[tex]y=e^{-\int{q(x)}dx}\left(\int{e^{\int{q(x)}dx}\cdot{r(x)dx}+C}\right)[/tex]

Er oppgaven skrevet riktig eller? Får det ikke til å stemme med mitt formelhefte... =/... Får titte mer på denne i morgen...

hvis du følger stegene som beskrives her får du:

[tex]y(x) = \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin(x)}\mathrm{d}x\cdot e^{-\arcsin(x)}+Ce^{-\arcsin(x)}[/tex]

integralet kan løses med litt partytricks, og du får at

[tex]y(x) = \frac{1}{2}e^{\arcsin(x)}\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)\cdot e^{-\arcsin(x)}+Ce^{-\arcsin(x)} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)+Ce^{-\arcsin(x)}[/tex]

[tex]y(0) = -1 \Rightarrow -1 = -\frac{1}{2}+C \Leftrightarrow C = -\frac{1}{2}[/tex]

som gir

[tex]y(x) = \frac{1}{2}\left(x-sqrt{1-x^2}\right) - \frac{1}{2}e^{-\arcsin(x)[/tex]

Kan du vise partytriksene? Har nå funnet en feil jeg har gjort, men sitter fortsatt fast.

Forresten, skal det ikke være [tex]Ce^{-arcsinx}[/tex] ?

Nassern wrote:Kan du vise partytriksene? Har nå funnet en feil jeg har gjort, men sitter fortsatt fast.

Forresten, skal det ikke være [tex]Ce^{-arcsinx}[/tex] ?

så over igjen nå, og du har rett i at det skal være et minustegn der

her har du utregningen av integralet. prøvde å ta med så mange detaljer som mulig, men i korte trekk er det bare et par substitusjoner og to ganger delvis integrasjon

[tex]I = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin(x)}\mathrm{d}x \quad u = x \quad u^{\prime} = 1 \quad v^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin(x)} \quad v = e^{\arcsin(x)} \\ I = u\cdot v - \int v\cdot u^{\prime}\mathrm{d}x = xe^{\arcsin(x)} - \int exp^{\arcsin(x)}\mathrm{d}x \\ I_1 = \int e^{\arcsin(x)}\mathrm{d}x \quad u = \arcsin(x) \quad \mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{d}x = \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}u = \sqrt{1-\sin^2(u)}\mathrm{d}u = \cos(u)\mathrm{d}u \\ I_1 = \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u \quad u_1 = e^u \quad u_1^{\prime} = e^{u} \quad v_1^{\prime} = \cos(u) \quad v_1 = \sin(u) \\ I_1 = u_1\cdot v_1 - \int v_1\cdot u_1^{\prime}\mathrm{d}u = e^u\sin(u) - \int e^{u}\sin(u)\mathrm{d}u \\ I_2 = \int e^{u}\sin(u)\mathrm{d}u \quad u_2 = e^{u} \quad u_2^{\prime} = e^{u} \quad v_2^{\prime} = \sin(u) \quad v_2 = -\cos(u) \\ I_2 = -e^{u}\cos(u) + \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u \\ I_1 = \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u = e^{u}\sin(u)-\int e^{u}\sin(u)\mathrm{d}u = e^{u}\sin(u) - \left[-e^{u}\cos(u) + \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u\right] \\ 2\cdot \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u = e^{u}\left(\sin(u) + \cos(u)\right) \Rightarrow I_1 = \int e^{u}\cos(u)\mathrm{d}u = \frac{1}{2}e^{u}\left(\sin(u)+\cos(u)\right) = \frac{1}{2}e^{u}\left(\sin(u) + \sqrt{1-\sin^2(u)}\right) \\ u = \arcsin(x) \Leftrightarrow x = \sin(u) \\ I_1 = \frac{1}{2}e^{\arcsin(x)}\left(x + \sqrt{1-x^2}\right) \\ I = xe^{\arcsin(x)} - I_1 = xe^{\arcsin(x)} - \frac{1}{2}e^{\arcsin(x)}\left(x + \sqrt{1-x^2}\right) = \frac{1}{2}e^{\arcsin(x)}\left(x - \sqrt{1-x^2}\right)[/tex]

som du skjønner var det litt av en fest i går

Takk for hjelpen.

Har metoden der du får det samme integralet som du startet med på den andre siden av likhetstegnet, og dermed kan sette den over er navn? (så det blir litt lettere å finne den i læreboka , helst på engelsk også, hvis du kan det)

I hvilke tilfeller vil jeg kunne få bruk for den?

Der det dukker opp integraler av trigonometriske funksjoner og eksponensialer?

du får nok kun bruk for dobbel delvis integrasjon for uttrykk som har en tendens til å "gå i ring", som f.eks cos(x)/sin(x) og e^(x).

tror ikke det er noe spesielt navn utenom delvis integrasjon, men du gjør det jo to ganger da