matematikk.net

Vis ved induksjon at for n=1,2,3,... gjelder

[tex]\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]

Oppgaven er lenger, men jeg håper på at jeg vil klare å få til den alene, med litt hjelp med den første delen herfra.

Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.

Når jeg prøver meg på induksjon, ender jeg alltid opp med en alternerende rekke på den ene siden av likhetstegnet, og en ikke-alternerende på den andre.

Nassern wrote:Vis ved induksjon at for n=1,2,3,... gjelder

[tex]\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]

Oppgaven er lenger, men jeg håper på at jeg vil klare å få til den alene, med litt hjelp med den første delen herfra.

Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.

Når jeg prøver meg på induksjon, ender jeg alltid opp med en alternerende rekke på den ene siden av likhetstegnet, og en ikke-alternerende på den andre.

Det er riktig at [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}[/tex] konvergerer for alle reelle [tex]p>1[/tex].

Formelen gjelder for n=1 siden venstresida er

[tex]\sum_2^2\frac1i=\frac12[/tex] og høyresida er

[tex]\sum_1^2 \frac{(-1)^{m+1}}{m}=1-\frac12=\frac12[/tex]

Anta at formelen gjelder for en bestemt n.

Da er

[tex]\sum_{i=(n+1)+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac12(\frac{1}{n+1})=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2(n+1)}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]

Følgelig gjelder formelen for n+1. Q.e.d.

Nassern wrote: Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.

Det er riktig at den uendelige summen divergerer.

Men den formelen du skal vise gjelder for endelige n. Dermed vil vi ha en endelig sum av endelige tall, som følgelig er konvergent.

Takk skal du ha. Nå så jeg endelig hvorfor jeg det første leddet fikk negativt fortegn.

Dermed vil vi ha en endelig sum av endelige tall, som følgelig er konvergent.

Kan man i det hele tatt snakke om konvergens for endelige summer?

FredrikM wrote:

Dermed vil vi ha en endelig sum av endelige tall, som følgelig er konvergent.

Kan man i det hele tatt snakke om konvergens for endelige summer?

Mente vel egentlig at en endelig sum av endelige tall er endelig.