matematikk.net

Finn [tex]\sum_{k=2}^\infty (\zeta(k)-1)[/tex] der [tex]\zeta[/tex] er Riemanns zetafunksjon.

Etter litt omskriving av summen via geometriske rekker, fikk jeg at den burde bli noe sånt som [tex]\sum^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k(k-1)} = \sum^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = 1[/tex]

Noe sånt som det, ja.

La

[tex]S=\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{k})^n[/tex]


Antar at vi kan skifte rekkefølgen på summen:

[tex]S=\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{k})^n=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{k}}-1-\frac{1}{k}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k^2}{k(k-1)}-\frac{(k+1)(k-1)}{k(k-1)}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=1[/tex]